Para derivar la ecuación geodésica del movimiento a partir de la conservación covariante del tensor energía-momento tenemos que hacer el siguiente procedimiento:
$$ T^{\mu\nu}_{\space\space\space\space;\mu}= \partial_\mu T^{\mu\nu}+\Gamma^{\mu}_{\space\space\sigma\mu}T^{\sigma\nu}+\Gamma^{\nu}_{\space\space\sigma\mu}T^{\mu\sigma} $$
$$ T^{\mu\nu}_{\space\space\space\space;\mu}= \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu (\sqrt{-g} T^{\mu\nu})+ \Gamma^{\nu}_{\space\space\sigma\mu}T^{\mu\sigma}.$$
El primer término es cero, ya que el tensor de momento de energía no tiene divergencia. Utilizando la definición del tensor energía-momento:
$$ T^{\mu\nu}(x)= \frac{m}{\sqrt{-g}} \int u^{\mu}u^{\nu} \delta^4(x-z(\tau))d\tau $$
donde: $ u^{\mu} = \frac{dz^\mu(\tau)}{d\tau}$ .
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Al tomar la derivada $ \partial_\mu (\sqrt{-g} T^{\mu\nu})$ no actúa en el $u^{\mu}u^{\nu}$ términos, sólo en la función delta y no entiendo por qué.
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Otra cosa es que cuando integramos por partes hay un término de frontera de la forma $$ -\frac{m}{\sqrt{-g}} u^{\nu} \delta^4 (x-z(\tau)) \ \Big|_a^b $$ donde se está evaluando en los límites de tiempo adecuados que etiqueté como $a$ et $b$ . Los otros dos términos se combinan para dar la ecuación geodésica. ¿Por qué ignoramos el término de la frontera?
