Determinar una región del $xy$ -avión

Question

Determinar una región del $xy$ -para el que la ecuación diferencial $$\frac{dy}{dx}=(x+2) e^{(y/{x+2})} $$ tendría una solución única a través de un punto $(x_0, y_0)$ en la región.

Answer 1

Selon Teorema de Picard-Lindelöf , si $y'=f(x,y)$ y sabemos que ambos $f(x,y),~~f_y$ son continuas en un área rectangular $R$ incluyendo los puntos $ (x_0,y_0)$ entonces hay un intervalo $I$ centrada en ese punto y la función única $y$ definido en $I$ satisfaciendo el problema del valor inicial. Ahora, mire el $f(x,y)$ et $f_y$ para su OE.

Answer 2

Sustituir $t=x+2\implies dx=dt$ que da, $$\frac{dy}{dt}=te^{y/t}$$

Ahora, sustituye, $y=tz\implies \frac{dy}{dt}=z+t\frac{dz}{dt}$ que da $$z+t\frac{dz}{dt}=te^z$$ y asumiendo $t\neq 0$ la reordenación da como resultado $$\frac{dz}{dt}+\frac{1}{t}z=e^z$$

Se trata de una ecuación diferencial lineal estándar en $z$ (se puede resolver mediante procedimientos estándar) que tiene una solución única dado que pasa por $(x_0,y_0)$ . Por lo tanto, para $t\neq 0\iff x\neq -2$ es la región donde tiene solución única.