Expresando la integral como límite de sumas y evaluando

Question

Hola estoy teniendo algunos problemas con una tarea. Necesito expresar la integral como límite de sumas y evaluar $$\int_0^\pi \sin(7x)\,dx$$ Puedo encontrar $$ \Delta x = \frac{\pi-0}{n} = \frac{\pi}{n} \text{ and }x_i = 0 + \frac{\pi}{n}i$$ por lo que obtengo $$\int_0^\pi \sin(7x)\,dx = \lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n\sin\left(\frac{7\pi}{n}i\right)\frac{\pi}{n} $$

Sé que $$\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n\sin\left(\frac{7\pi}{n}i\right)\frac{\pi}{n} = \frac{2}{7}$$ pero necesito entender cómo llegar allí sólo usando límites y sumas.

aquí es donde estoy atascado, no sé cómo proceder al expresar el límite y la suma. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

$$\begin{align} & \text{using}\ \text{lagrange trigonometric identity}\ \text{which reads:} \\ & \sum\nolimits_{i=1}^{n}{\operatorname{Sin}\left( i\theta \right)}=\frac{1}{2}Cot\left( \frac{\theta }{2} \right)-\frac{\operatorname{Cos}\left( \left( n+\frac{1}{2} \right)\theta \right)}{2\operatorname{Sin}\left( \frac{\theta }{2} \right)}, \\ & Now \\ & \sum\nolimits_{i=1}^{n}{\operatorname{Sin}\left( i\frac{7\pi }{n} \right)}=\frac{1}{2}Cot\left( \frac{7\pi }{2n} \right)-\frac{\operatorname{Cos}\left( \left( n+\frac{1}{2} \right)\frac{7\pi }{n} \right)}{2\operatorname{Sin}\left( \frac{7\pi }{2n} \right)} \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\frac{1}{2}Cot\left( \frac{7\pi }{2n} \right)-\frac{\operatorname{Cos}\left( 7\pi +\frac{7\pi }{2n} \right)}{2\operatorname{Sin}\left( \frac{7\pi }{2n} \right)} \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \ \ =\frac{\operatorname{Cos}\left( \frac{7\pi }{2n} \right)}{2\operatorname{Sin}\left( \frac{7\pi }{2n} \right)}-\frac{\operatorname{Cos}\left( 7\pi +\frac{7\pi }{2n} \right)}{2\operatorname{Sin}\left( \frac{7\pi }{2n} \right)} \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \ \ =\frac{1}{2\operatorname{Sin}\left( \frac{7\pi }{2n} \right)}\left( \operatorname{Cos}\left( \frac{7\pi }{2n} \right)-\operatorname{Cos}\left( 7\pi +\frac{7\pi }{2n} \right) \right) \\ & So \\ & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\nolimits_{i=1}^{n}{\operatorname{Sin}\left( i\frac{7\pi }{n} \right)}\frac{\pi }{n} \\ & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\pi }{n}\sum\nolimits_{i=1}^{n}{\operatorname{Sin}\left( i\frac{7\pi }{n} \right)}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\pi }{n}\left( \frac{1}{2\operatorname{Sin}\left( \frac{7\pi }{2n} \right)}\left( \operatorname{Cos}\left( \frac{7\pi }{2n} \right)-\operatorname{Cos}\left( 7\pi +\frac{7\pi }{2n} \right) \right) \right) \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \quad =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\pi }{n}}{2\operatorname{Sin}\left( \frac{7\pi }{2n} \right)}\ \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \operatorname{Cos}\left( \frac{7\pi }{2n} \right)-\operatorname{Cos}\left( 7\pi +\frac{7\pi }{2n} \right) \right) \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \quad \quad \quad =\frac{\pi }{2\times \frac{7\pi }{2}}\times \left( \operatorname{Cos}\left( 0 \right)-\operatorname{Cos}\left( 7\pi \right) \right)=\frac{1}{7}\times 2=\frac{2}{7} \\ \end{align} $$