¿Es posible encontrar un mapa de Möbius $f$ tal que $f(\{z\in\mathbb{C}:1<|z|<2\})=\{z\in\mathbb{C}:1<\operatorname{Re}z<2\}?$ Si es así, encuentra una de estas funciones. Si no, justifica tu respuesta. Yo resolví con esta técnica: Sea $\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}, S=\{z\in\mathbb{C}:|z|<2\},\mathbb{B}=\{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Re}z<1\}$ , $T=\{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Re} z<2\}$ . Sabemos que el mapa de Möbius mapea círculo o línea recta a círculo o línea recta y conserva la orientación. Veamos si $f$ sea un mapa de Möbius que mapea $\mathbb{D}$ en $\mathbb{B}$ este mapa también mapea $S$ en $T$ . Y el mismo mapa también mapea la región { $z\in\mathbb{C}:1<|z|<2$ } en la región { $z\in\mathbb{C}:1<\operatorname{Re}z<2$ } . Por tanto, basta con encontrar un mapa de Möbius de $\mathbb{D}$ en $\mathbb{B}$ .
\fin {frame} \N - Comienzo {frame} {Título del frame} Ver $1,i,-1$ son tres puntos límite de $\mathbb{D}$ et $1-i,1,1+i$ son tres puntos límite de $\mathbb{B}$ . Tome un mapa de mobius $f$ que mapea $z_{1}=1\longrightarrow1-i=w_{1}$ , $z_{2}=i\longrightarrow1=w_{2}$ , $z_{3}=-1\longrightarrow1+i=w_{3}$
Por lo tanto, $f$ también mapea puntos interiores de $\partial \mathbb{D}$ a los puntos interiores de $\partial \mathbb{B}$ es decir, mapas $\mathbb{D}$ en $\mathbb{B}$ . \newpage $f$ puede obtenerse mediante la fórmula de la relación cruzada: \begin{equation} \dfrac{(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z)} = \dfrac{(w-w_{1})(w_{2}-w_{3})}{(w_{1}-w_{2})(w_{3}-w)} \end{equation} Calcular el resultado, $w=\dfrac{2z(i-1)}{iz-i-1-z}.$ \ Este es el mapa de Möbius requerido $f(z)=\dfrac{2z(i-1)}{iz-i-1-z}$ que mapea { $z\in\mathbb{C}:1<|z|<2$ }) en { $z\in\mathbb{C}:1<\operatorname{Re} z<2$ }. No sé si mi solución es correcta o no.
