Dejemos que $(x_n)$ sea una secuencia. Denotemos $A$ como el conjunto de puntos de acumulación de la secuencia. Ahora definimos $B = \{ x_i : i \in \mathbb{N} \}$ . ¿Es cierto en general que:
$$A = \partial B$$
Sé que Bolzano-Weierstrass nos dice que si la secuencia está acotada, entonces A es no vacía y compacta, y entonces creo que tengo una prueba para esto (¿o quizás esto también es falso?)
Sin embargo, ¿es cierto en general?
Parece que la mayoría estaría de acuerdo con esta inclusión: $A \subset \partial B$ . Mi prueba para la otra dirección es bastante simple:
Dejemos que $x \in \partial B$ Por lo tanto $\forall \epsilon > 0$ , $V_{\epsilon}(x) \cap B$ así que $\forall \epsilon > 0$ , $V_{\epsilon}(x)$ contiene algún punto de B. Pero como podemos tomar epsilon como la distancia de x a ese punto, entonces existe algún otro punto en esta vecindad de epsilon que está en $B$ Por lo tanto $V_{\epsilon}(x)$ contiene infinitos puntos de B (no es bueno formalizar esto...)
Entonces tenemos que x es un punto de acumulación (ya que x es punto de acumulación si $\forall \epsilon > 0 $ , $V_{\epsilon}(x)$ contiene infinitos puntos de la secuencia), por lo que $\partial B \subset A$ . ¿Me falta algo? Cualquier ayuda/información sería muy apreciada.
