Demostrar que la función soporte satisface $\sigma_{A+B}=\sigma_A+\sigma_B$ para $A,B$ conjuntos convexos compactos

Question

Dejemos que $A, B, C$ sean conjuntos convexos compactos en $\Bbb R^n$ tal que $A + C = B + C$ . El objetivo de este problema es demostrar que $A = B$ . Definir la función de apoyo función $$\sigma _A (x) := \max\{\langle x, u\rangle : u A\}.$$ (a) Demuestre que $\sigma _A$ es una función convexa definida para todo $x R ^n$ .

Prueba

Observa: $\sigma_A((1-t)x+ty)=\max\{\langle(1-t)x+ty,u\rangle:u \in A\}=\max\{\langle(1-t)x,u\rangle+\langle ty,u\rangle :u \in A\}\leq \max\{\langle(1-t)x,u\rangle :u \in A\}+\max\{\langle ty,u \rangle :u \in A\}=(1-t)\sigma_A(x)+t\sigma_A(y)$

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(b) Demuestre que $$\sigma_{A+B}=\sigma_A +\sigma_B$$

Necesito ayuda con la parte (b).

Answer 1

Dejemos que $C=\{<x,u>:u \in A\}$ , $D=\{<x,u>:u \in B\}$ y arreglar $x \in R^{n}$ . Tenemos $z \leq \sigma_{A}(x) \forall z \in C$ y $y \leq \sigma_{B}(x) \forall z \in D$ . Por lo tanto, tenemos $z+y \leq \sigma_{A}(x)+\sigma_{B}(x) \forall z \in C, y\in D$ . Por lo tanto, tenemos $ \sigma_{A+B}=max_{z \in C, y \in D} z+y \leq \sigma_A(x)+\sigma_B(x)$