Si $f: U \rightarrow \mathbb{R}^n$ diferenciable tal que $|f(x)-f(y)| \geq c |x-y|$ para todos $x,y \in U$ entonces $\det \mathbf{J}_f(x) \neq 0$

Question

Dejemos que $f: U \rightarrow \mathbb{R}^n$ sea una función diferenciable sobre un subconjunto abierto $U$ de $\mathbb{R}^n$ . Supongamos que existe $c>0$ tal que $|f(x)-f(y)| \geq c |x-y|$ para todos $x,y \in U$ . Entonces quiero demostrar que $\det \mathbf{J}_f(x)$ es distinto de cero para todos los $x \in U$ .

Creo que tengo que aplicar el teorema de la función inversa, pero no veo cómo.

Answer 1

Supongamos que hay algún $x\in U$ tal que $\det\mathbf{J}_f(x)=0$ . Entonces debe haber algún $v\in \mathbb{R}^n$ tal que $\mathbf{J}_f(x)\cdot v=0$ . Sea $y_t=x+tv$ . Desde $U$ es abierto, existe $r>0$ tal que $B_r(x)\subset U$ . Entonces $|x-y_t|=t|v|$ . Si hacemos $t$ lo suficientemente pequeño, dicen algunos $t_0$ entonces $t_0|v|<r$ . Pero como $B_r(x)$ es convexo, para todos los $t\leq t_0$ , $y_t\in B_r(x)\subset U$ .

Entonces $|f(x)-f(y_t)-\mathbf{J}_f(x)\cdot tv|\geq ||f(x)-f(y_t)|-|t\mathbf{J}_f(x)\cdot v|=|f(x)-f(y_t)|\geq c|x-x-tv|=c|tv|$ . Ahora divide para obtener $\dfrac{|f(x)-f(y_t)-\mathbf{J}_f(x)\cdot tv|}{t|v|}\geq c>0$ . Tomando el límite como $t\to 0$ ya que $f$ es diferenciable, el lado izquierdo de esta ecuación es $0$ , por lo que obtenemos $0\geq c>0$ . Contradicción. Así que $x$ no existe, y $\mathbf{J}_f(x)\neq 0$ para todos $x\in U$ .