Convolución por $\log$ mapas $\mathrm{L}^1$ en $\mathrm{BMO}$

Question

Se dice en la obra de Stein Análisis armónico: Métodos de variable real, ortogonalidad, y las integrales oscilatorias En el capítulo IV, 6.3(i) se dice que $$ I_{n} f:=f\star\log|\cdot|\in\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)\qquad\text{if }f\in\mathrm{L}^1(\mathbb{R}^n). $$ Más concretamente, $$ (I_{n}f)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}f(y)\log|x-y|\mathrm{d}y\qquad\text{for }x\in\mathbb{R}^n, $$ y $f\in\mathrm{L}^1(\mathbb{R}^n)$ implica $I_{n}f\in\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$ .

Mis preguntas giran en torno a la obtención de un límite uniforme para esta inclusión:

1. ¿Cómo probarlo? (espero que esto resuelva la 2. y, por tanto, la 5.)
2. ¿Es cierto que existe una constante $C>0$ tal que $$ \|I_{n}f\|_{\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)}\leq C\|f\|_{\mathrm{L}^1(\mathbb{R}^n)}? $$
3. De forma más general, ¿se cumple la siguiente generalización de la desigualdad de convolución de Young $$ \|f\star g\|_{\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)}\leq \|f\|_{\mathrm{L}^1(\mathbb{R}^n)}\|g\|_{\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)}? $$ Para la declaración clásica, $\mathrm{BMO}$ se sustituye por $\mathrm{L}^\infty$ . Por supuesto, esto implica 2., ¡pero es muy interesante en sí mismo!
4. ¿Existe una estimación más débil? Quizás 5.
5. Finalmente, para mis propósitos es suficiente que tengamos una estimación local: $$ \|I_{n}f\|_{\mathrm{L}^1(B)}\leq C(B)\|f\|_{\mathrm{L}^1(\mathbb{R}^n)}, $$ para $f\in\mathrm{C}^\infty_c(\mathbb{R}^n)$ . Aquí $B\subset\mathbb{R}^n$ es una bola abierta y $C(B)>0$ se permite, por supuesto, que dependa de $B$ .

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

La pregunta 5 no es tan mala. Voy a proporcionar un esquema: Se toma la transformada de Fourier para obtener $$ \widehat{I_nf}(\xi)=|\xi|^{-n}\hat f(\xi)=|\xi|^{s-n}|\xi|^{s}\hat f(\xi) $$ para algunos fijos $0<s<n$ . En realidad, hacer $s=1$ . El FT de $\log$ se calcula en Samko, Integrales hipersingulares y sus aplicaciones , p. 44. De ello se desprende que $$I_nf=I_{1}I_{n-1}f.$$ Entonces se aplica la acotación de los potenciales de Riesz en los dominios (como en el lema 7.12, Gilbarg-Trudinger, Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden ) dos veces para obtener $$ \begin{align} \|I_nf\|_{\mathrm{L}^q(B)}&=\|I_{1}I_{n-1}f\|_{\mathrm{L}^q(B)}\\ &\leq C(B)\|I_{n-1}f\|_{\mathrm{L}^p(B)}\\ &\leq C(B)\|f\|_{\mathrm{L}^1}, \end{align} $$ donde $1\leq q < np/(n-p)$ y $1<p<n$ . Envío de $p\uparrow n$ permite elegir cualquier $1\leq q<\infty$ .

Sin embargo, esto es sólo una solución para mi problema y una indicación de que la 2 no está necesariamente mal. La cuestión de una incrustación global limitante sigue abierta para mí ;)