¿Hay alguna prueba sencilla de la siguiente afirmación: para todos los vectores $ v,w,u\in V\setminus\{0\} $ , donde $ V $ es un espacio euclidiano, la desigualdad $$ \angle(u,v)\le\angle(u,w)+\angle(w,v)$$ se mantiene.
Lamentablemente, no pude encontrar nada útil en los libros o en Google. He visto este post: Desigualdad del triángulo para los ángulos Pero no estoy seguro de si la respuesta dada es correcta o no, y si hay más pruebas claras o no.
Sí. En primer lugar, tomamos el conjunto de los tres vectores, lo que nos permite reducir el problema al espacio 3/D. A continuación, fijamos la magnitud de $u, v, w$ a 1 ya que esto no afecta al ángulo, y el encontrar estos tres puntos en una esfera. La desigualdad del triángulo es válida para los arcos menores en una esfera, y la longitud del arco es igual al ángulo, por lo que el resultado requerido es válido.
Aquí es una prueba de la desigualdad del triángulo en superficies esféricas.
Esa desigualdad sólo es cierta si se tiene cuidado con el valor numérico asignado a un ángulo y con la forma de sumar ángulos.
La definición del producto punto da ángulos con signo.
Si se miden los ángulos por la longitud del círculo máximo (no negativo) que cortan en la esfera unitaria, ¿qué debería ocurrir cuando la suma se extiende a más de un círculo completo?
Si todo lo que te importa son los ángulos pequeños sin signo, entonces puedes usar esa arclitud - es sólo la desigualdad del triángulo para las distancias del gran círculo.
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