Prueba de la ley de los cosenos

Question

Para $z,w \in \mathbb{C}$ . ¿Cómo puedo utilizar este resultado? $$|z-w|^2=|z|^2+|w|^2-2 \Re(z \bar w)$$ para demostrar la ley de los cosenos?

$$c^2=a^2+b^2-2ab \cos \theta$$

Answer 1

(1) En el plano complejo si dibujamos z, w y z-w obtenemos un triángulo cuyas longitudes de los lados correspondientes son |z|, |w| y |z-w|. Llamemos a estas longitudes a, b, c.

(2) considerar la parte real de $z\bar w$ con z y w expresados en r, $\theta$ formato. $z= r_z(cos \theta_z + i sin \theta_z)$ y $\bar w = r_w(cos \theta_w - i sin \theta_w)$ así que $\Re(z\bar w) = r_z r_w (cos \theta_z cos \theta_w + sin \theta_z sin \theta_w ) = r_z r_w cos (\theta_z - \theta_w )$

(3) $(\theta_z - \theta_w )$ es el ángulo entre w y z, digamos $\theta$ . También, $r_z$ y $r_w$ son iguales a |z| y |w|. Por lo tanto, dado $|z-w|^2=|z|^2+|w|^2-2 \Re(z \bar w)$ y juntando esto con (1) y (2)...

(4) $c^2=a^2+b^2-2ab \cos \theta$

Answer 2

Expresa los números complejos en forma polar.