La forma de la distribución Maxwell-Boltzmann

Question

Esta pregunta se refiere a mi incomprensión de las diferencias y formas de las distribuciones de Boltzmann y Maxwell-Boltzmann.

Tengo entendido que la distribución de Boltzmann surge como la solución a la optimización de entropía máxima restringida, y que se escribe comúnmente:

$$ p_i =\frac{e^{-E_i/kT}}{\sum_{j=1}^Me^{-E_j/kT}},$$

donde $j$ y $i$ indexar el estado de algún sistema con niveles de energía $E_i$ aumentando en $i$ . $T$ es la temperatura, que se introdujo como el recíproco de un multiplicador de Lagrange y $k$ es la constante de Botlzmann.

Ahora bien, si alguien me pidiera que dibujara la función de densidad de probabilidad de los estados para diferentes energías, dibujaría algo parecido a esto:

En concreto, la densidad tomaría su valor máximo en $E=0$ . Cuando leí la página de wikipedia de la Distribución de Maxwell-Boltzmann , comienzan con la distribución que tengo arriba y luego proceden a encontrar la distribución de los momentos. Luego transforman la distribución de nuevo en una distribución de energía, pero de alguna manera la distribución tiene ahora una forma diferente. En particular:

$$ f(E) = 2\sqrt{\frac{E}{\pi}}\frac{1}{(kT)^{3/2}}\exp\Big(\frac{-E}{kT}\Big).$$

Esta expresión claramente no tiene el valor máximo en $E=0$ . ¿Por qué la nueva distribución de energía es diferente a la primera? Tal vez mi incapacidad para entender esto está relacionado con la condición que tienen: $f_E(E)\,dE=f_p(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}.$

Answer 1

Su parcela corresponde a la probabilidad $p_i$ de ocurrencia del $i$ -ésimo estado microscópico cuya energía es $E_i$ . A nivel macroscópico, no se pueden distinguir los diferentes estados microscópicos, pero se pueden medir cantidades macroscópicas como la energía E. La probabilidad de medir una energía $E$ es $$P(E)=\sum_i p_i\delta(E-E_i)=\Omega(E){e^{-\beta E}\over{\cal Z}}$$ donde $$\Omega(E)=\sum_i \delta(E-E_i)$$ es el número de estados microscópicos cuya energía es $E$ . Normalmente, se tienen muy pocos estados microscópicos con una energía baja, pero este número aumenta con $E$ . Multiplicando por el peso de Boltzmann, que se comporta de forma opuesta, se obtiene una curva que suele aumentar como $\Omega(E)$ para $E$ pequeño y luego disminuye exponencialmente.

En el caso particular de la distribución Maxwell-Boltzmann, es decir, para un gas ideal clásico, tenemos para un solo partícula $$\eqalign{ P(E)&={1\over z}\int \delta\Big(E-{p^2\over 2m}\Big) e^{-\beta{p^2\over 2m}} {d^3\vec r d^3\vec p\over h_0^3}\cr &={V\over zh_0^3}\int_0^{+\infty} \delta\Big(E-{p^2\over 2m}\Big) e^{-\beta E} 4\pi p^2dp }$$ donde $d^3\vec p$ se ha escrito en coordenadas esféricas. Configurando $u=p^2/2m$ y $p=\sqrt{2mu}$ para que $du=pdp/m$ obtenemos $$P(E)={4\pi V\over zh_0^3}e^{-\beta E}\delta(E-u)\sqrt{2mu} \times mdu={4\pi V\over{\cal Z}h_0^3}m^3/2\sqrt Ee^{-\beta E}$$ Introduciendo ahora la expresión de la función de partición, obtenemos $$P(E)={4\pi\over (2\pi k_BT)^{3/2}}\sqrt Ee^{-\beta E}$$

Sin embargo, esto es sólo para un solo de partículas. El mismo cálculo debe hacerse para un gas de $N$ partículas. $$P(E)={1\over {\cal Z}}\int \delta\Big(E-\sum_{i=1}^{3N}{p_i^2\over 2m}\Big)e^{-\beta\sum_{i=1}^{3N}{p^2\over 2m}} {d^{3N}\vec r d^{3N}\vec p\over h_0^{3N}}$$ El equivalente de las coordenadas esféricas en un espacio de dimensión $3N$ lleva a ${\rm Cst}\ \!p^{3N-1}dp$ después de integrar sobre el $3N-1$ ángulos. Por lo tanto, supongo que deberíamos esperar algo como $$P(E)={\rm Cst}\ \!E^{3N/2-1}e^{-\beta E}$$