Prueba $L^p$ es reflexivo para $1<p<\infty$ utilizando el teorema de representación de Riesz

Question

Por definición, $X$ es reflexivo si la inyección canónica $J:E \to E^{**}$ es suryente, donde $\langle Jx,f\rangle_{E^{**},E^*}=\langle f,x\rangle_{E^*,E},~\forall x \in E,~\forall f \in E^*.$ Para mostrar $E$ es reflexivo, no basta con demostrar la existencia de una isometría lineal suryectiva de $E$ a $E^{**}$ .

Me gustaría saber si es posible mostrar $L^p$ es reflexivo para $1<p<\infty$ utilizando el teorema de representación de Riesz. Por el teorema de representación de Riesz, $(L^p)^* =L^{p'}$ , donde $1/p+1/p'=1.$

Normalmente la gente dice "desde $(L^p)^{**} =(L^{p'})^*=L^p$ , $L^p$ es reflexivo "

Parece correcto, pero me gustaría probarlo en detalle. ¿Podríais hacerme algún comentario para esta pregunta? Gracias de antemano.

Answer 1

Nótese que el isomorfismo $(L^p)^* = L^{p'}$ viene dada por

$$\Phi_p : L^{p'}\to (L^p)^*,\ \ \Phi_p (f) (g) = \int_X fg d\mu.$$

Ahora comprobamos que el homomorfismo canónico es un isomorfismo: en efecto, para todo $f\in L^p$ y $\ell \in (L^p)^*$ ,

$$\begin{split} J (f) (\ell) &= \ell (f) \\ &= (\Phi_p\Phi_p^{-1})(\ell) (f) \\ &= \int_X \Phi_p^{-1}(\ell) f d\mu \\ &=\int_X f \Phi_p^{-1}(\ell) d\mu \\ &= \Phi_{p'} (f) (\Phi^{-1}_p \ell) \\ &= ((\Phi_p^{-1})^*\circ \Phi_{p'} (f))(\ell). \end{split}$$

Así que $J(f) = (\Phi_p^{-1})^*\circ \Phi_{p'}(f)$ y por lo tanto $J$ es un isomorfismo.