Encontrar todos los enteros $i$ tal que $\frac{j}{\gcd(i,j)}$ es compuesto para algunos $j's$ .

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo y $p$ el mayor primo $\le n$ . Sea $ j_1,j_2,\ldots,j_m\le n$ denotan algunos números compuestos positivos. Consideremos todos los números enteros $i$ sin factores primos mayores que $p$ : $$i=2^{a_2}3^{a_3}\cdots p^{a_p}; a_2,a_3,\ldots,a_p\in \mathbb{Z}_{\ge 0}.$$ Tenga en cuenta que $i$ puede ser mayor que $n$ . ¿Es posible encontrar una fórmula para todos los $i$ tal que para cada $k$ avec $1\le k\le m$ tenemos $$\frac{j_k}{\gcd(i,j_k)}$$ ¿es compuesto?

Observación: La condición de que $\frac{j}{\gcd(i,j)}$ es compuesto es equivalente a $j$ que tenga al menos dos factores primos (incluyendo la multiplicidad) que $i$ no tiene. Por ejemplo, $i=2^2, j=2^5; i=2*3, j=5*7; i=2^5, j=3^2$ .

Ejemplos:

(1) Si $n=5$ y $j=4$ entonces para que $\frac{4}{\gcd(i,4)}$ para ser compuesto, debemos tener que $i$ no es divisible por $2$ . Así que $i=3^{a_3}, a_3\ge 0$ .

(2) Si $n=6$ y $j_1=4, j_2=6$ entonces para que $\frac{4}{\gcd(i,4)}$ para ser compuesto debemos tener que $i$ no es divisible por $2$ y como $\frac{6}{\gcd(6,i)}$ es compuesto tenemos que $2$ y $3$ no dividir $i$ . Por lo tanto, $i=5^{a_5}, a_5\ge 0$ .

Answer 1

Sí, es posible: $$i_n=\prod_{q=s_n}^{t_n}{p_q}^{a_{p_q}}\tag1$$ donde $i_n:=i,p_{t_n}:=p$ y $p_{s_n}$ es el menor primo mayor que $\frac n2$ . Aquí, $p_u$ es el $u$ - el primer lugar.

Probemos $(1)$ por inducción en $n$ .

Prueba :

Para $n=5$ tenemos $p_{s_5}=3,p_{t_5}=5,j=2^2$ . Con el fin de $\frac{2^2}{\gcd(i_5,2^2)}$ para ser compuesto, tenemos que tener $\gcd(i_5,2^2)=1$ Así que $i_5=3^{a_3}5^{a_5}$ .

Supongamos que $(1)$ se mantiene para algunos $n$ .

Aquí, vamos a separar en casos :

• Caso 1 : Si $n+1$ es primo, entonces $p_{s_{n+1}}=p_{s_n}$ y $p_{t_{n+1}}=p_{t_n+1}=n+1$ . También, $j$ s son los mismos. Así que, $i_{n+1}=i_n\cdot p_{t_{n+1}}^{a_{p_{t_{n+1}}}}$ .

• Caso 2 : Si $n+1$ es compuesto tal que $n+1=2p_{s_n}$ entonces $p_{s_{n+1}}=p_{s_n+1}$ y $p_{t_{n+1}}=p_{t_n}$ . Con el fin de $\frac{n+1}{\gcd(i_{n+1},n+1)}$ para ser compuesto, $i_{n+1}$ no es divisible por $p_{s_n}$ . Así que, $i_{n+1}=i_n/p_{s_n}^{a_{p_{s_n}}}$ .

• Caso 3 : Si $n+1$ es compuesto tal que $n+1\lt 2p_{s_n}$ entonces $p_{s_{n+1}}=p_{s_n},p_{t_{n+1}}=p_{t_n}$ y $\frac{n+1}{\gcd(i_n,n+1)}$ sigue siendo compuesto porque el mayor factor primo de $n+1$ es menor que $p_{s_n}$ . Así que, $i_{n+1}=i_n$ .

Así que, en cualquier caso, $(1)$ se mantiene para $n+1$ . $\quad\blacksquare$

Answer 2

Dejemos que $J$ sea el conjunto de todos los $\frac{j_k}{q}$ tal que $q$ es un primo que divide a $j_k$ . Entonces no son los números requeridos $i$ simplemente aquellos enteros positivos que no tienen un factor primo mayor que $p$ que no son múltiplos de ningún número en $J$ ?