La función está definida en toda la línea real y $|f(x) -f(y)| \leq |x-y|^\alpha$ , entonces....

Question

Dada: $f(x)$ se define en $\mathbb{R}$ y $|f(x) -f(y)| \le |x-y|^\alpha$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

I. Si $\alpha > 1$ entonces $f(x)$ es constante.

II. Si $\alpha = 1$ entonces $f(x)$ es diferenciable.

III. $0 < \alpha < 1$ entonces $f(x)$ es continua.

Respuesta: I $-$ verdadero, II $-$ falso, III $-$ Es cierto.

Me pregunto cómo se ha obtenido este resultado. ¿Quizás alguien pueda dar alguna explicación?

Answer 1

Su condición es un caso especial de continuidad de Hölder. Si $\alpha = 1$ se suele llamar Lipschitz en lugar de Hölder. Voy a dar algunas pistas.

I. Supongamos que $\alpha = 1 + \epsilon$ para $\epsilon > 0$ . Entonces $\left|\frac{f(x) - f(y)}{x-y}\right| \leq |x-y|^\epsilon$ . Si tomamos el límite como $y \to x$ ¿Qué dice esto sobre la derivada de $f$ en $x$ ?

II. Considere $f(x) = |x|$ .

III. Dejemos que $\epsilon > 0$ y $\delta = \epsilon^{\frac{1}{\alpha}}$ . Si $|x-y| < \delta$ entonces, ¿qué se puede decir de |f(x) - f(y)|?

Answer 2

Si $f: I \rightarrow \Bbb R$ es una función para la que existe $c, \alpha > 0$ tal que $$|fx - fy| \leq c|x - y|^\alpha$$ entonces $f$ se dice que Hölder continuo . Si $\alpha = 1$ entonces decimos $f$ es Lipschitz continuo . De este modo, toda función de Lipschitz es una función de Hölder. Ahora bien, si $\alpha > 1$ , $f$ es constante porque su derivada es cero, mira eso: $$ 0 < |fx - fy| \leq |x-y|^\alpha \\ 0 < \frac{|fx - fy|}{|x - y|} \leq c|x - y|^{\alpha - 1}$$ Desde $\alpha - 1 > 0$ marcando la diferencia $x - y \to 0$ , obtenemos que $f' \equiv 0$ Por lo tanto $f$ es constante. Si $f$ es diferenciable, entonces $f$ es continua.

Sin embargo, podemos decir algo más fuerte. Toda función continua de Hölder es uniformemente continua. Sea $\epsilon > 0$ , elija $\delta = \sqrt[\alpha]{\frac{\epsilon}{c}}$ y $x,y \in I$ tal que $|x - y| < \delta$ . Entonces obtenemos $$|fx - fy| \leq c|x-y|^\alpha < c\sqrt[\alpha]{\dfrac{\epsilon}{c}}^\alpha = \epsilon$$

Para el contraejemplo, $f(x) = |x|$ lo hará, como dijo @user71352.

Aquí es una pregunta un poco relacionada con la continuidad de Hölder, con una gran respuesta, y muchas referencias.

Answer 3

Pistas: Para (I) $0\le\vert\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\rvert\le\vert x-y\rvert^{\alpha-1}$

Para (II) Piensa en la función $x\mapsto\lvert x\rvert$

Para (III) $0\le\lvert f(x)-f(y)\rvert\le\lvert x-y\rvert^{\alpha}$ dejar $x$ tienden a $y$ .