Propiedades de las integrales de Lebesgue

Question

Si tengo 2 funciones integrables de Lebesgue $f,g$ definidos en el mismo conjunto A tal que: $$ f > g \qquad \hbox{a.e on A}$$ ¿Implica esto que: $$ \int_{A} f d\mu > \int_{A} g d\mu$$ No estoy seguro de que se cumpla una desigualdad estricta en este caso y, si no es así, ¿alguien conoce algún resultado agradable en el que pueda obtener una desigualdad estricta?

Gracias

Answer 1

No, no se sostiene necesariamente. Consiser a $\mu$ -conjunto medible $A$ de medida $0$ . Definir $f := \chi_A$ y $g := 0$ . Entonces $$ \int_A f \, \mathrm d\mu = \int_B g \, \mathrm d\mu = 0 \; .$$ Sin embargo, se mantiene, si $A$ tiene una medida positiva estricta. ¿Puede demostrarlo?

Answer 2

Si $A$ tiene medida cero, entonces no hay ninguna pista: ambas integrales son $0$ . En caso contrario, considere la cadena descendente de conjuntos (medibles) indexados por $n \ge 1$ $$A_n = \left\{ t \in A : f(t)-g(t) \le \frac{1}{n} \right\}$$ Entonces $\bigcap_n A_n$ tiene medida cero, por lo que $\lim_n \mu(A_n) = 0$ . Esto significa que existe algún $n$ tal que $\mu(A_n) \le \frac{1}{2}\mu(A)$ . Ahora considere $$\int_A f-g \ge \int_{A \setminus A_n} f-g \ge \int_{A \setminus A_n} \frac{1}{n} = \frac{1}{n}\mu(A \setminus A_n) >0 $$ por lo que, como $f,g$ son integrables de Lebesgue (sus integrales son finitas) se tiene $\int_A f > \int_A g$ .

Todo esto funciona si la medida de $A$ es finito. En caso contrario, se restringe a un subconjunto $A'\subset A$ de medida finita, y utilizar el mismo argumento.