límites cálculo multivariable. ¿en qué me equivoco en mi intento?

Question

P : $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ donde
$$f(x,y) = y\sin\frac1x + \frac{xy}{x^{2} + y^{2}}$$

El libro de texto dice que el límite no existe. Entonces, ¿en qué me equivoco con mi prueba de abajo?

INTENTO DE EDICIÓN :

O podemos escribir $2 \delta < \varepsilon$ , lo que demuestra que el límite existe. ¿Hay algo que me haya perdido?

Answer 1

Si $|f| \leq g$ y $g \to 1/2$ , tú no puede concluir que $f \to 1/2$ ¡! Usted debe tener $g \to 0$ para concluir.

El límite no existe: elige $y=x$ y calcular $\lim_{x \to 0} f(x,x)$ . Entonces elige $y=0$ y calcular $\lim_{x \to 0} f(x,0)$

Answer 2

El error está aquí :

para $x$ y $y$ que tiende a $0$ entonces $\arrowvert{ \frac{y}{x^2+y^2}}\arrowvert$ tiende al infinito

$\arrowvert{ \frac{xy}{x^2+y^2}}\arrowvert$ es indeterminado

Answer 3

$y>y^2$ para $y\in(0,1)$ que es la fuente del error.

Poniendo $y=cx$ da $$ cx\sin(1/x)+\frac{c}{1+c^2} $$ y el límite en 0 ciertamente no existe, porque el primer término tiende a 0.