Dejemos que $X$ sea un campo vectorial analítico sobre una variedad suave. ¿Es cierto que el flujo $\Phi_t:M\to M$ asociado a ese campo vectorial también es analítico?
Respuesta
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Según lo solicitado: En primer lugar (como Mike señaló correctamente), para tener una noción bien definida de un campo vectorial real-analítico (o cualquier tensor real-analítico) en la variedad $M$ se necesita no sólo una variedad suave, sino una variedad dotada de una estructura analítica real. En segundo lugar, la ecuación $\frac{d}{dt}\Phi_t(m)= X(m)$ , $m\in M$ , $X$ es un campo vectorial en $M$ , puede no tener una solución a corto plazo sin más hipótesis. Una forma de garantizar la existencia de una solución a corto plazo es suponer la compacidad de $M$ . Dado esto, el teorema de Cauchy - Kovalevskaya implica que la EDO de 1er orden $\frac{d}{dt}\Phi_t(m)= X(m)$ tiene una solución analítica real en $M$ para $t\in [0,T]$ y algunos $T>0$ que será el flujo analítico real requerido en $M$ . (Para aplicar el teorema, se utiliza un gráfico a la vez y luego se utiliza la unicidad de la solución para garantizar que las soluciones locales dan una solución global). Obsérvese que la compacidad de $M$ también implica la existencia de un solución a largo plazo es decir, una solución (un flujo) que existe (y es real-analítica) para todos los valores de $t\ge 0$ .
