Cálculo de $\int_0^{\pi/2} \sqrt[n]{(\tan x)}dx=\int_0^{\infty} \frac{x^n}{1+x^{2n}}$ utilizando la integración de contornos

Question

Dejemos que $n$ sea un número natural. Quiero calcular $$\int_0^{\pi/2} \sqrt[n]{(\tan x)}dx=\int_0^{\infty} \frac{x^n}{1+x^{2n}}dx$$ utilizando la integración de contornos.

Declaro $f(z) = \frac{z^n}{1+z^{2n}}$ . Esta función tiene $2n$ polos simples de la forma $exp(i\frac{-\pi}{2n} + i\frac{\pi k}{n})$ para $k = 0,1,2, ... , 2n-1$ .

Mi problema es encontrar qué contorno utilizar. He pensado en utilizar lo siguiente:

$\gamma_1(t) = t$ , $t \in [0,R]$

$\gamma_2(t) = Re^{it}$ , $t \in [0,\frac{\pi}{n}]$

$\gamma_3(t) = te^{i\frac{\pi}{n}}$ , $t \in [0,R]$

De este modo, sólo tengo un polo en el contorno y puedo utilizar el teorema del residuo. ¿Es este un buen enfoque? De alguna manera tengo problemas con los cálculos aquí.

Se agradecería la ayuda

Answer 1

Como ha definido $\gamma_3$ , esa línea de contorno está comenzando en $t= R$ y volviendo a 0. Vamos a necesitar voltear el signo.

$Res_{z=e^{\frac{\pi i }{2n}}} f(z) = \int_{\gamma_1} f(z) \ dz + \int_{\gamma_2} f(z) \ dz - \int_{\gamma_3} f(z) \ dz$

Esperamos resolver para $\int_{\gamma_1} f(z) \ dz$

Deberá demostrar que $\lim_\limits{R\to\infty} \int_{\gamma_2} f(z) \ dz= 0.$ Se lo dejo a usted.

$Res_{z=e^{\frac{\pi i }{2n}}} f(z) = \int_0^\infty f(t) \ dt - \int_0^\infty f(e^\frac{\pi i}{n} t)e^\frac{\pi i}{n} \ dt$

$Res_{z=e^{\frac{\pi i }{2n}}} f(z) = (1+e^\frac{\pi i}{n})\int_0^\infty f(t) \ dt\\ 2e^{\frac{\pi i}{2n}} \cos \frac{\pi}{2n}\int_0^\infty f(t) \ dt = Res_{z=e^{\frac{\pi i }{2n}}} f(z)\\ \int_0^\infty f(t) \ dt = \frac{1}{2e^{\frac{\pi i}{2n}}\cos \frac{\pi}{2n}} Res_{z=e^{\frac{\pi i }{2n}}} f(z)$

$Res_{z=e^{\frac{\pi i }{2n}}} f(z) = 2\pi i \frac{i}{2n e^{\frac{(2n-1)\pi i }{2n}}} = \frac{\pi e^\frac{\pi i}{2n}}{n}$

$\int_0^\infty f(t) \ dt = \frac{\pi}{2n\cos \frac{\pi}{2n}}$

Answer 2

Sustituir $x^{2n} = z$ para conseguir $$ \int_0^\infty \frac{x^{n}}{1+x^{2n}}dx = \frac{1}{2n}\int_0^\infty \frac{z^{-\frac12+\frac{1}{2n}}}{1+z} dz$$ Utilizando el contorno del ojo de la cerradura , puede encontrar que para $n>1$ : $$\oint_C \frac{z^{-\frac12+\frac{1}{2n}}}{1+z} dz = (1-e^{2\pi i(-\frac12+\frac{1}{2n})}) \int_0^\infty \frac{z^{-\frac12+\frac{1}{2n}}}{1+z} dz = (1+e^{\frac{i\pi }{n}}) \int_0^\infty \frac{z^{-\frac12+\frac{1}{2n}}}{1+z} dz$$ Por otro lado $$\oint_C \frac{z^{-\frac12+\frac{1}{2n}}}{1+z} dz = 2\pi i \,{\rm Res}_{-1}\frac{z^{-\frac12+\frac{1}{2n}}}{1+z} =2\pi i e^{i\pi(-\frac12+\frac{1}{2n})} = 2\pi e^{\frac{i\pi }{2n}}$$ Esto significa que $$ \int_0^\infty \frac{z^{-\frac12+\frac{1}{2n}}}{1+z} dz = \frac{2\pi e^{\frac{i\pi }{2n}}}{1+e^{\frac{i\pi }{n}}} = \frac{\pi}{\cos\frac{\pi}{2n}}$$ $$ \int_0^\infty \frac{x^{n}}{1+x^{2n}}dx = \frac{\pi}{2n \cos\frac{\pi}{2n}}$$

Su enfoque es equivalente, pero sin el cambio inicial de variables.