Calcular la integral $\int_\gamma y\,dx + x^2\,dy$ con el Teorema de Green

Question

La declaración es: Utiliza el Teorema de Green para calcular el valor de la integral de línea $\int_{\gamma}y\,dx + x^2\,dy$ , donde $\gamma$ es el círculo dado por $g(t) = (\cos t, \sin t), 0 \leq t \leq 2\pi$

Por el teorema de Green,

$$\int_\gamma y\,dx + x^2\,dy = \iint\limits_{\text{D}} 2x-1 \,dA$$

Hice un cambio a coordenadas polares, $x= r \cos \theta; y=r \sin \theta $ con $r[0,1]$ y $\theta [0,2 \pi]$

\begin{align} \int_0^{2\pi} \int_0^1 (2r \cos \theta-1) \, dr \, d\theta = & \int_0^{2\pi} \Big[r^2 \cos \theta-r\Big]_0^1 \, d\theta\\ = & \int_0^{2\pi} \Big[\cos \theta-1\Big]_0^1 \, d\theta\\ = & \Big[\sin \theta- \theta\Big]_0^1=-2 \pi\\ \end{align} Pero el libro de texto dice que la respuesta es $- \pi$

Answer 1

Después de realizar el cambio a coordenadas polares, debemos utilizar $r\,dr\,d\theta$ en $dA$ no sólo $dr\,d\theta$ . Por lo tanto, la integral es $$I=\int_0^{2\pi} \int_0^1 (2r^2\cos\theta-r) \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \bigg(\frac23\cos\theta-\frac12\bigg)\,d\theta=-\pi.$$