¿Están todas las normas de acuerdo en cuál es el vector más largo?

Question

Dadas dos normas $\|\cdot\|_a$ y $\|\cdot\|_b$ en un espacio vectorial de dimensión finita, ¿podría ser que existan vectores $\vec{v}_1,\vec{v}_2$ tal que $$\|\vec{v}_1\|_a>\|\vec{v}_2\|_a$$ y $$\|\vec{v}_1\|_b<\|\vec{v}_2\|_b$$ es decir, que las normas "no se ponen de acuerdo" sobre qué vector es el más largo?

Tal vez esto esté relacionado con equivalencia de normas pero no veo cómo llegar aquí desde allí.

Answer 1

Sí. De lo contrario, las normas sólo serían múltiplos unas de otras.

$$\|(30,40)\|_2=50 > 45 =\|(0,45)\|_2$$ $$\|(30,40)\|_\infty=40 < 45 =\|(0,45)\|_\infty$$

Answer 2

Claro. Un ejemplo en $\Bbb{R}^2$ : \begin{align} ||(x,y)||_a &= \sqrt{\left( \frac{x}{2} \right)^2 + y^2} \\ ||(x,y)||_b &= \sqrt{x^2 + \left( \frac{y}{2} \right)^2} \end{align} Los conjuntos de norma constante bajo estas dos normas son elipses, pero los ejes mayores con el $a$ norma son a lo largo de la $x$ -y los ejes principales para el $b$ -normas son largas las $y$ -eje. Esto sugiere mirar \begin{align} ||(0,1)||_a &= 1 & ||(1,0)||_a &= 1/2 \\ ||(0,1)||_b &= 1/2 & ||(1,0)||_b &= 1 \text{.} \end{align}