Sé que ILU (0) tiene el mismo patrón de dispersión que el de la matriz original A, y al realizar la eliminación gaussiana se ignoran todos los rellenos. Pero no tengo claro cómo funcionan los ILU(1) o los ILU(2) y demás. ¿Cuál es la diferencia entre ILU(0) y ILU(1), y cómo se elige el patrón de dispersión en ILU(1)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que la mejor manera de explicar la descomposición de la ILU es con imágenes. Dejemos que $A$ sea la matriz de bandas de la estrella de 5 puntos del método de las diferencias finitas \begin{align*} A&=\begin{pmatrix} B_m & -I_m & \\ -I_m & B_m & -I_m \\ & -I_m & B_m & -I_m \\ & & \ddots & \ddots & \ddots \\ &&& -I_m & B_m & -I_m \\ & &&& -I_m & B_m \\ \end{pmatrix}∈ℝ^{n×n} , \\ B_m&= \begin{pmatrix} 4 & -1 & \\ -1 & 4 & -1 \\ & -1 & 4 & -1 \\ & & \ddots & \ddots & \ddots \\ &&& -1 & 4 & -1 \\ & &&& -1 & 4 \\ \end{pmatrix}∈ℝ^{m×m} . \Fin
La estructura de esa matriz es la siguiente (para $m=5$ ): 
El $LU$ -Descomposición dada por $A=LU$ , tiene el típico relleno 
La ILU( $0$ ) toma el patrón de dispersión de $A$ . Por lo tanto, si $A_{ij}=0$ las entradas $L_{ij}$ y $U_{ij}$ se establecen en $0$ .
La ILU( $0$ ) se ven las matrices:
Con estas dos matrices el ILU( $0$ ) se lee en las factorizaciones: $$A\approx A_0 = L_0U_0.$$ Y el patrón de dispersión de la matriz $A_0$ es
Puede ver algunas entradas adicionales, en comparación con el patrón de dispersión de $A$ . Estos existen simplemente, porque fijamos el relleno del original $LU$ -Descomposición a $0$ .
La ILU( $1$ ) toma ahora el patrón de dispersión de ILU( $0$ ) matriz $A_0$ . Por lo tanto, si $[A_0]_{ij}=0$ las entradas $L_{ij}$ y $U_{ij}$ se establecen en $0$ .
Con estas dos matrices el ILU( $1$ ) se lee en las factorizaciones: $$A\approx A_1 = L_1U_1.$$
Y la ILU( $2$ ) tomaría de nuevo el patrón de dispersión de $A_1$ .
Recomiendo el libro de Yousef Saad Métodos iterativos para sistemas lineales dispersos . Es el mejor libro para ese tipo de cosas.
