Dada una variable aleatoria $Y:\Omega \to \mathbb{R}$ con media finita $\mu$ y una varianza finita y positiva $\sigma^2$ , dejemos que $X = \frac{Y-\mu}{\sigma}$ sea la renormalización con media $0$ y la varianza $1$ . ¿cuáles son algunas técnicas generales para demostrar que $Y$ tiene una distribución normal? Es decir, $$P(X\leqslant a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^a e^{-t^2/2}\,dt.$$
La técnica estándar que conozco es calcular los momentos o cumulantes y luego utilizar el hecho de que la distribución normal se caracteriza por sus momentos/acumulantes. ¿Existen otras técnicas generales y cuáles son sus ventajas e inconvenientes?
La motivación de esta pregunta es la teoría de los números (como con esta pregunta relacionada ), de ahí las etiquetas de teoría de números. En concreto, el teorema motivador es el teorema del límite central de Selberg (publicado por primera vez en La tesis de Tsang Ver también este artículo de Radziwill-Soundarajan) que establece que para grandes $T$ la variable aleatoria de valor real en $[T,2T]$ dado por $t \mapsto \log|\zeta(\tfrac12 + it)|$ tiene una distribución aproximadamente normal con una media $0$ y la varianza $\frac{1}{2}{\log\log T}$ .
Las dos pruebas que conozco (la original de Selberg y la de Radziwill-Soundarajan) utilizan el método de los momentos. Desde el punto de vista moral, la aportación analítica-teórica de los números se destina a mostrar que las contribuciones de los ceros de zeta pueden controlarse, y por tanto, al menos para la cuestión distributiva con $t \in [T,2T]$ , $$\log|\zeta(\tfrac12 + it)| \simeq \Re\sum_{p\leqslant T^{o(1)}} \frac{1}{p^{1/2 + it}}.$$ Se puede entonces calcular los momentos del lado derecho y mostrar que como $T \to \infty$ los momentos debidamente normalizados convergen a los momentos de una gaussiana estándar.
La esperanza es ver si hay una manera de probar el CLT de Selberg en una situación en la que los momentos son más difíciles de calcular, y por lo tanto el método de los momentos puede no ser tractable.
