Encontrar un conjunto de extensión para un espacio nulo

Question

Tengo una matriz $A$ que es así:

$$\begin{equation} A = \pmatrix{ 1 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 1 & 3 & -1 & 4 & -2 \\ 1 & 1 & -5 & -2 & 12 \\ 1 & 4 & 1 & 7 & -7 } \end{equation}$$

La pregunta es: Encontrar un conjunto de $5\times 1$ matrices cuya extensión lineal es el espacio nulo de $A$ .

Hice Gauss-Jordan y obtuve la matriz hasta:

$$\begin{equation} \pmatrix{ 1 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 } \end{equation}$$

¿Pero eso no significa que la matriz es inconsistente y por lo tanto no hay tramo lineal? ¿Alguna idea? Gracias

Answer 1

Su matriz reducida es correcta. Primero hay que caracterizar el conjunto de vectores $x$ que satisfagan $A x = 0$ . Este conjunto se denomina espacio nulo o núcleo, y utilizo la notación estándar $\ker A$ .

El proceso de reducción anterior corresponde a la premultiplicación de $A$ por una matriz invertible $G$ tal que $G A = \tilde{A}$ , donde $\tilde{A}$ es la matriz reducida anterior. Dado que $G$ es invertible, se tiene $Ax = 0$ si $\tilde{A}x = 0$ o en otras palabras, $\ker A = \ker \tilde{A}$ . Así que podemos centrarnos en encontrar $\ker \tilde{A}$ ya que la matriz tiene una forma más agradable.

Supongamos que $\tilde{A}\pmatrix{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} = 0$ . Entonces puedes ver inmediatamente que debemos tener $x_5 = 0$ . La tercera fila no nos dice nada. Y las dos primeras filas se pueden reescribir como $\pmatrix{ 1 && 2 \\ 0 && 1} \pmatrix{x_1 \\ x_2}+\pmatrix{ -3 && 1 \\ 2 && 3} \pmatrix{x_3 \\ x_4} = 0$ . Desde $\pmatrix{ 1 && 2 \\ 0 && 1}^{-1} = \pmatrix{ 1 && -2 \\ 0 && 1}$ obtenemos $\pmatrix{x_1 \\ x_2} = \pmatrix{ 7 && 5 \\ -2 && -3} \pmatrix{x_3 \\ x_4}$ .

Esto nos dice que si seleccionamos $x_3, x_4$ entonces $x_1, x_2$ están completamente determinados. Así, $\tilde{A}x = 0$ si $x_5 = 0$ , $x_3, x_4$ son arbitrarios, y $x_1,x_2$ dado por la fórmula anterior, o en otras palabras $\ker A = \{\pmatrix{7 x_3+5 x_4 \\ -2x_3-3 x_4 \\ x_3 \\ x_4 \\ 0} | x_3, x_4 \text{arbitrary} \}$ .

Ahora quieres encontrar una forma más cómoda de expresarlo. Observe que podemos escribir $\pmatrix{7 x_3+5 x_4 \\ -2x_3-3 x_4 \\ x_3 \\ x_4 \\ 0} = x_3 \pmatrix{7 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0} + x_4 \pmatrix{5 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0}$ . Así que podemos escribir $\ker A = \text{sp} \{\pmatrix{7 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \pmatrix{5 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0} \}$ . Es decir, el espacio nulo de $A$ es el tramo de estos dos vectores.

Answer 2

El software Mathematica puede encontrar un conjunto de espacio nulo para matrices dadas con coeficientes exactos:

NullSpace[{{1, 2, -3, 1, 5}, {1, 3, -1, 4, -2}, {1, 1, -5, -2, 12}, {1, 4, 1, 7, -7}}]

da

{{5, -3, 0, 1, 0}, {7, -2, 1, 0, 0}}

como en la respuesta de copper.hat. Le sugiero que empezar aquí si le interesa saber cómo se hace esto computacionalmente.