Problema de ecuaciones de funciones: $ f ( x y ) = f ( x ) ^ { y ^ \beta } f ( y ) ^ { x ^ \beta } $

Question

Resolver la ecuación de la función $$ f ( x y ) = f ( x ) ^ { y ^ \beta } f ( y ) ^ { x ^ \beta } \text , $$ donde $ \beta $ es un número real, $ f ( x ) $ es una función continua de un solo valor.

Obviamente, $ f ( x ) = 1 $ lo satisface, pero ¿hay otras soluciones?

Answer 1

Hay una forma de responder a esa pregunta que se debe a Enrico Fermi (véase E. Fermi, Thermodynamics, Ch.IV). Por supuesto, al ser él un físico que trata una variable física como la entropía, hizo varias suposiciones displicentes sobre la $f(x)$ entrar en la ecuación funcional como, por ejemplo, que exista una expansión de Taylor. Si este es el caso, siendo $y$ arbitraria, supondremos que $y=1+\epsilon$ y amplía $\epsilon$ . Obtendrá la siguiente igualdad $$ f(x)+\epsilon xf'(x)+O(\epsilon^2)=f(x)f(1)+\epsilon\beta f(1)f(x)\log(f(x))+\epsilon x^\beta f(x)f'(x)+O(\epsilon^2). $$ Entonces, al igualar potencias iguales de $\epsilon$ es fácil ver que $$ f(1)=1 $$ y $$ xf'(x)=\beta f(x)\log(f(x))+x^\beta f(x)f'(x) $$ que es la ecuación diferencial a resolver para este problema. Pero esto tiene sólo la solución trivial.

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que hay ambigüedades en el enunciado del problema que hay que resolver antes de empezar a resolverlo. La más importante es que el dominio y el codominio de $ f $ debe especificarse. Otra es que se debe especificar para qué elementos del dominio como $ x $ y $ y $ tenemos la ecuación funcional $$ f ( x y ) = f ( x ) ^ { y ^ \beta } f ( y ) ^ { x ^ \beta } \text . \tag 0 \label 0 $$ Tenga en cuenta, por ejemplo, que si $ \beta < 0 $ , $ 0 ^ \beta $ no tiene sentido, si $ \beta $ es irracional, $ ( - 1 ) ^ \beta $ es indefinido, y la exponenciación de los números complejos (a la potencia de un no entero) no es una función bien definida de un solo valor.

Supongamos que $ f : \mathbb R ^ + \to \mathbb R ^ { 0 + } $ y \eqref {0} son válidos para todos los $ x , y \in \mathbb R ^ + $ . Bajo esta especificación, podemos demostrar que las únicas soluciones son de la forma $ f ( x ) = 0 $ y $ f ( x ) = \exp \big( x ^ \beta A ( \log x ) \big) $ para algunos función aditiva $ A : \mathbb R \to \mathbb R $ . Es sencillo comprobar que se trata efectivamente de soluciones. Demostramos que son las únicas.

Definir $ g : \mathbb R ^ + \to \mathbb R ^ { 0 + } $ con $ g ( x ) = f ( x ) ^ { x ^ { - \beta } } $ . Entonces, por \eqref {0} tenemos $$ g ( x y ) = g ( x ) g ( y ) \tag 1 \label 1 $$ para todos $ x , y \in \mathbb R ^ + $ . Lettin $ x = y = 1 $ en \eqref {1} podemos ver que $ g ( 1 ) \in \{ 0 , 1 \} $ . Si $ g ( 1 ) = 0 $ y luego poner $ y = 1 $ en \eqref {1} muestra que $ g $ es constantemente cero, y por lo tanto $ f $ también es la función constante cero, que es una de las soluciones mencionadas. Así que, a partir de ahora, supongamos que $ g ( 1 ) = 1 $ . Dejar $ y = \frac 1 x $ en \eqref {1} tenemos $$ g ( x ) g \left( \frac 1 x \right) = 1 \text , $$ que en particular muestra que $ g ( x ) > 0 $ para todos $ x \in \mathbb R ^ + $ . Esto nos permite definir $ A : \mathbb R \to \mathbb R $ con $ A ( x ) = \log \big( g ( \exp x ) \big) $ y \eqref {1} demostrará que $ A $ satisface Ecuación funcional de Cauchy . Por lo tanto, tenemos $$ f ( x ) = g ( x ) ^ { x ^ \beta } = \Big( \exp \big( A ( \log x ) \big) \Big) ^ { x ^ \beta } = \exp \big( x ^ \beta A ( \log x ) \big) \text , $$ que da el otro conjunto de soluciones mencionadas.

Es bien sabido que asumir la axioma de elección se puede demostrar que existen funciones aditivas salvajes, utilizando Bases de Hamel de $ \mathbb R $ (considerado como un espacio vectorial sobre el campo $ \mathbb Q $ ). Por otro lado, asumiendo otras regularidades como la continuidad, la acotación local o incluso la mensurabilidad de Lebesgue, una función aditiva $ A : \mathbb R \to \mathbb R $ debe ser lineal; es decir, debe haber una constante $ a \in \mathbb R $ tal que $ A ( x ) = a x $ para todos $ x \in \mathbb R $ . Ver este puesto para más información. En el caso de nuestro problema, asumiendo regularidades en $ f $ obliga a las regularidades en $ A $ y, por tanto, soluciones regulares no nulas de \eqref {0} debe ser de la forma $ f ( x ) = \exp \left( a x ^ \beta \log x \right) $ o, por el contrario $$ f ( x ) = x ^ { a x ^ \beta } $$ para alguna constante $ a \in \mathbb R $ . El caso de $ f ( x ) $ siendo constantemente igual a $ 1 $ que has encontrado por ti mismo corresponde al caso $ a = 0 $ .