la forma más fácil de mostrar el mapa al círculo es abrir

Question

¿Cuál es la forma más rápida de demostrar que $F:\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}\to S^n$ , $x\mapsto \frac{x}{||x||}$ ¿es un mapa abierto?

Answer 1

$\mathbb R^{n+1}\setminus\{0\}$ es homeomorfo a $S^n\times \mathbb R_{>0}$ , a través de: $$\phi\colon x\mapsto \left(\frac{x}{\|x\|},\|x\|\right)$$ y su inversa $$\psi\colon(z,r)\mapsto rz$$ Entonces su mapa $F$ puede escribirse como la composición $$\mathbb R^{n+1}\xrightarrow{\phi}S^n\times\mathbb R_{>0}\xrightarrow{\text{pr}_1}S^n$$ donde $\text{pr}_1$ es el mapa de proyección. Los homeomorfismos y los mapas de proyección son abiertos, y la composición de mapas abiertos es abierta, por lo que $F$ está abierto.

Answer 2

Dado $A$ Abrir $$F(A)=\bigcup_{r>0} rA\cap \mathbb{S^{n}}$$ es una unión de conjuntos abiertos en $\mathbb S^n$

Answer 3

$S^n$ es el espacio orbital de la acción de $\mathbb{R}^+$ en $\mathbb{R}^{n+1}$ (es decir, es el espacio cociente que se obtiene dejando que el grupo multiplicativo de los reales positivos actúe sobre $\mathbb{R}^{n+1}$ por multiplicación escalar). Como su mapa se identifica naturalmente con el mapa orbital (es decir, el mapa cociente que surge de la acción del grupo), y como los mapas orbitales son siempre abiertos, el resultado se deduce.