Conjugado de una función

Question

Sí, esto es una tarea.

Dado $f(x) = 1^{T}(x)_+$ donde $(x)_+ = \max\{0,x\}$ ¿Qué es? $f^*$ ?

Sé que el conjugado de una función $f$ es $f^*(y) = \sup (y^Tx - f(x))$ pero no sé cómo mostrar el conjugado de $f(x) = 1^{T}(x)_+$ . Estoy buscando los pasos para determinar el conjugado y el $dom f^*$

Answer 1

Examinemos primero el caso en el que $x\in\mathbb{R}$ , $f(x) = \max(0,x)$ .

Entonces, el conjugado es

$$ \begin{align} f^*(y) &= \sup_{x\in\mathbb{R}} \{yx-\max(0,x)\}\\ &= \max \left\{ \sup_{x\geq 0}(yx-x), \sup_{x<0}(yx+x)\right\}\\ &= \max \left\{ \sup_{x\geq 0}x(y-1), \sup_{x<0}x(y+1)\right\}\\ &= \max \left\{ \begin{cases}0,&\text{if } y\leq 1\\ +\infty,&\text{otherwise } \end{cases}, \begin{cases}0,&\text{if } y\geq -1\\ +\infty,&\text{otherwise } \end{cases} \right\}\\ &=\begin{cases} 0,&\text{if } y \in [-1,1]\\ +\infty,&\text{otherwise } \end{cases} \end{align} $$

Claramente $\operatorname{dom} f^* = [-1,1]$ . Tenga en cuenta que $f^*$ es la función indicadora de $[-1,1]$ Por lo tanto $f$ es la función de soporte de este intervalo.

Ahora, para el caso en que $x\in\mathbb{R}^n$ tenemos

$$ f(x) = 1'[x]_+, $$

donde $[x]_+=(\max(0,x_1), \max(0,x_2), \ldots, \max(0,x_n))$ . Entonces $f^*$ puede escribirse como

$$ \begin{align} f^*(y) &= \sup_{x\in\mathbb{R}^n} \{y'x - f(x)\}\\ &= \sup_{x\in\mathbb{R}^n} \left\{\sum_{i=1}^{n}y_i x_i - \sum_{i=1}^{n}\max(0,x_i)\right\}\\ &= \sup_{x\in\mathbb{R}^n} \left\{\sum_{i=1}^{n}y_i x_i - \max(0,x_i)\right\} \end{align} $$

La suma es separable, por lo que podemos descomponer fácilmente el gran $\sup$ en una suma de $\sup$ y utilizar el resultado anterior para el caso $x\in\mathbb{R}$ .

$$ \begin{align} f^*(y) &= \sum_{i=1}^{n}\sup_{x_i\in\mathbb{R}}\{y_ix_i-\max(0,x_i)\}\\ &= \sum_{i=1}^{n}\delta(x_i\mid [-1,1])\\ &= \delta(x\mid \mathcal{B}_{\infty}), \end{align} $$

y por supuesto $\operatorname{dom}f^* = \mathcal{B}_\infty$ .