No me convence mucho el argumento de Willie Wong, aunque no dudo de que sea correcto, pero no puedo completar los detalles (especialmente la parte de Egoroff), así que hice el mío (inspirado en el suyo).
En primer lugar, hay que tener en cuenta que la hipótesis de que $f \in L^p$ es redundante por el lema de Fatou. Ahora bien, hay que tener en cuenta que también podríamos considerar $f_n \to 0$ débilmente (la conclusión significa realmente convergencia débil) por linealidad.
Ahora ten en cuenta que: \begin {align*} F_n &: L^q \to \mathbf {K} \\ g & \mapsto \int f_n g. \end {align*} define un operador lineal acotado en $L^q$ de Hölder con operatoria menor o igual a $M$ .
Recuerde que las funciones de paso son densas en $L^q$ . Por tanto, por linealidad y continuidad, basta con considerar las funciones indicadoras $1_A$ con $A$ que tiene una medida finita. Ahora tenemos un espacio de medida finita por lo que podemos usar Egoroff.
Queremos demostrar que
$$\int_A f_n \to 0.$$
Así que, ahora encuentra un $B$ con $|B| \leq \epsilon$ tal que $f_n$ converge uniformemente a $0$ en $A \setminus B$ .
Por lo tanto, para un tamaño suficientemente grande $n$ tenemos que
$$\int_{A \setminus B} |f_n| \leq \epsilon |A \setminus B| \leq \epsilon |A|.$$
Y,
$$\int_{B} |f_n| \leq |B|^{1/q} \|f_n\|_p \leq \epsilon^{1/q} \|f_n\|_p.$$
KTHXBYE.