Distribución uniforme de puntos en una superficie en $\mathbb{R}^n$

Question

Dejemos que $\phi : U \subset \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^n$ sea una incrustación de un $k$ -de la superficie en $\mathbb{R}^n$ . ¿Existe una receta general para seleccionar los puntos $p$ en $U$ tal que los puntos $\phi(p)$ se distribuirá uniformemente en $\phi(U)$ ?

La primera vez que pensé en esto fue en el contexto de la distribución uniforme de puntos en la esfera. Se tiene la parametrización estándar $\phi : (0,1) \times (0,1) \to \mathbb{R}^3$ donde $$\phi(u,v) = (\cos(2\pi u) \sin(\pi v), \sin (2\pi u) \sin (\pi v) , \cos(\pi v)) $$ Puntos seleccionados uniformemente de $(0,1) \times (0,1)$ se mapean a puntos no uniformemente distribuidos en la esfera por $\phi$ . Parece que en su lugar tenemos que seleccionar puntos $(x,y)$ uniformemente de $(0,1) \times (0,1)$ y luego asignarlos a puntos $(u,v) = \psi(x,y) \equiv \left(x, \frac{1}{\pi}\cos^{-1}(2y - 1)\right)$ y, por último, utilizar $\phi$ para mapear esos puntos en la esfera con el fin de obtener puntos distribuidos uniformemente en la esfera.

Estoy tratando de generalizar este tratamiento de la esfera para incrustar $k$ -superficies. Es decir, cómo seleccionamos un mapa $\psi : U \to U$ tal que $\phi \circ \psi : U \to \mathbb{R}^n$ toma puntos distribuidos uniformemente en $U$ a puntos distribuidos uniformemente en el $k$ -superficie dimensional $(\phi \circ \psi)(U)$ ?

Answer 1

Encontré la siguiente ovservación. Denotemos $\rho = \phi \circ \psi$ . Queremos encontrar $\psi$ tal que para todos los subconjuntos abiertos $W \subseteq U$ el submanifold $\rho(W)$ cumple con lo siguiente $\rho$ preserva la probabilidad:

$$\frac{\int_W \sqrt{\det (D\rho ^T D\rho)}\text{d}u}{\text{vol}_k(M)}=\frac{\int_W \text{d}u}{\text{vol}_k(U)}$$

Como esto es para todos los $W$ debemos tener $$\frac{\sqrt{\det (D\rho ^T D\rho)}}{\text{vol}_k(M)}=\frac{1}{\text{vol}_k(U)}$$ Obsérvese que por la regla de la cadena $$\sqrt{\det (D\rho ^T D\rho)}=\sqrt{\det ((D\phi \circ \psi D\psi)^T(D\phi \circ \psi D\psi)}=\sqrt{\det (D\psi^T (D\phi \circ \psi)^T (D\phi \circ \psi) D\psi}$$ $$=|\det D\psi|\sqrt{\det ((D\phi \circ \psi)^T (D\phi \circ \psi)}=\frac{\text{vol}_k(M)}{\text{vol}_k(U)}$$ A partir de aquí creo que es bastante obvio que generalmente no se puede resolver explícitamente para $\psi$ Al menos esa es mi suposición.