¿Existe un conjunto de medidas cero que no sea escaso?

Question

Un subconjunto de ℝ es escaso si es una unión contable de subconjuntos no densos en ninguna parte (un conjunto no es denso en ninguna parte si cada intervalo abierto contiene un subintervalo abierto que falta en el conjunto).

Cualquier conjunto contable es escaso. El conjunto de Cantor no es denso en ninguna parte, por lo que es exiguo. Una unión contable de conjuntos magros es magra (por ejemplo, todas las traducciones racionales del conjunto de Cantor).

También puede haber conjuntos escasos de medida positiva, como los "conjuntos gordos de Cantor". Para formar un conjunto gordo de Cantor, se empieza con un intervalo cerrado, luego se quita algún intervalo abierto del medio, luego se quitan algunos intervalos abiertos de los intervalos restantes, y así sucesivamente. El resultado no es denso en ninguna parte porque has eliminado intervalos abiertos por todas partes. Si los tamaños de los intervalos que quitas se hacen pequeños rápidamente, entonces el resultado tiene medida positiva.

Entonces, ¿tiene la escasez alguna relación con la medida? En concreto, ¿todos los conjuntos de medida cero son escasos?

Answer 1

También existe el conjunto $D$ de los números diofantinos, que se da de forma natural en los sistemas dinámicos : $x\in\mathbb{R}$ es Diofantino si existe $c>0$ y un número entero $k$ , como por ejemplo $|x-p/q|\geq c/q^k$ para todo número racional $p/q$ . Es fácil ver que $D$ es de medida completa (es decir $D^c$ tiene medida $0$ ), pero es escaso.

Answer 2

Quizás tenga sentido mencionar este ejemplo: La categoría de espacios medibles es equivalente a la categoría de espacios topológicos hiperstoneanos y a los mapas hiperstoneanos entre ellos.

Construir un espacio medible (X,M,N) a partir de un espacio topológico hiperstoneano (Y,T), fijemos X=Y, dejemos que M sea el conjunto de todas las uniones de conjuntos abiertos y exiguos y que N sea el conjunto de todos los conjuntos magros en (Y,T). (Aquí M es el conjunto de todos los conjuntos medibles y N es el conjunto de todos los conjuntos nulos, es decir, conjuntos de medida 0. Para más información, véase esta respuesta: ¿Existe una introducción a la teoría de la probabilidad desde una perspectiva estructuralista/categórica? )

Así que en este caso particular los conjuntos magros son precisamente conjuntos de medida 0.