¿Existe un conjunto de medidas cero que no sea escaso?

Question

Un subconjunto de ℝ es escaso si es una unión contable de subconjuntos no densos en ninguna parte (un conjunto no es denso en ninguna parte si cada intervalo abierto contiene un subintervalo abierto que falta en el conjunto).

Cualquier conjunto contable es escaso. El conjunto de Cantor no es denso en ninguna parte, por lo que es exiguo. Una unión contable de conjuntos magros es magra (por ejemplo, todas las traducciones racionales del conjunto de Cantor).

También puede haber conjuntos escasos de medida positiva, como los "conjuntos gordos de Cantor". Para formar un conjunto gordo de Cantor, se empieza con un intervalo cerrado, luego se quita algún intervalo abierto del medio, luego se quitan algunos intervalos abiertos de los intervalos restantes, y así sucesivamente. El resultado no es denso en ninguna parte porque has eliminado intervalos abiertos por todas partes. Si los tamaños de los intervalos que quitas se hacen pequeños rápidamente, entonces el resultado tiene medida positiva.

Entonces, ¿tiene la escasez alguna relación con la medida? En concreto, ¿todos los conjuntos de medida cero son escasos?

Answer 1

Dejemos que $p_i$ sea una lista de los números racionales. Sea $U_{i,n}$ sea un intervalo abierto centrado en $p_i$ de longitud $2^{-i}/n$ . Entonces $V_n=\cup_i U_{i,n}$ es una cubierta abierta de los racionales, de medida a lo sumo $\sum_i 2^{-i}/n=2/n$ . Entonces $\cap_n V_n$ es un conjunto co-meager de medida cero.

Así que sí, hay un conjunto de medida cero que no es exiguo, y por tanto no, no todo conjunto de medida cero es exiguo.

La teoría de la computabilidad ofrece una forma clara de ver esto. Hay un cierto tipo de número real que se llama 1-generico y hay otro tipo que se llama 1 al azar o "Martin-Löf random". Estos dos conjuntos son disjuntos. El conjunto de 1 reales genéricos es co-meager y tiene medida cero, mientras que el conjunto de 1 reales aleatorios es meager y tiene medida completa.

Por lo tanto, la medida y la categoría son bastante ortogonales. Los teóricos de conjuntos dirían que corresponden a dos nociones diferentes de forzamiento.

Una buena referencia general para este tipo de preguntas es el libro clásico de Oxtoby Medida y categoría .

Answer 2

Aunque ya se han dado muchos ejemplos, permítanme añadir mi favorito: Consideremos el conjunto de aquellos números en [0,1] cuya expansión binaria es pas "medios ceros y medios unos", es decir, aquellos para los que el número de unos en el primer $n$ lugares binarios no es asintótica a $n/2$ . La ley fuerte de los grandes números implica que este conjunto tiene medida cero. Sin embargo, no es escaso; de hecho, su complemento es escaso. Más dramáticamente: El conjunto de $x\in[0,1]$ cuya expansión binaria tiene, para infinitos $n$ nada más que ceros de la $n$ -a la $n!$ -el lugar binario es un lugar denso $G_\delta$ conjunto, por lo tanto comeager.

Answer 3

Sobre la relación entre los conjuntos nulos y los conjuntos escasos, también se puede consultar este artículo . Dos teoremas mencionados en esta nota (ambos clásicos y no debidos al autor):

1. (Como ya se ha mencionado anteriormente) Existe una escasa $F_\sigma$ subconjunto $A$ y un nulo $G_\delta$ subconjunto $B$ de $\mathbb R$ que satisfagan $A\cap B=\emptyset$ y $A\cup B=\mathbb R$ .

2. (El teorema de dualidad Erdős-Sierpiński) Supongamos que la hipótesis del continuo se cumple. Entonces existe una involución (biyección de orden dos) $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $f[A]$ es escaso si y sólo si $A$ es nulo, y $f[A]$ es nulo si y sólo si $A$ es escaso para cada subconjunto $A$ de $\mathbb R$ .

Mientras que (1) dice que los ideales de los conjuntos nulos, respectivamente exiguos, son "ortogonales", (2) dice que suponiendo CH se comportan idénticamente. Pero es bien sabido que esta dualidad entre medida y categoría falla dramáticamente una vez que adoptamos un punto de vista más abstracto: Shelah demostró que se necesitan cardinales grandes para construir un modelo de teoría de conjuntos (ZF, sin axioma de elección) en el que cada conjunto de reales es medible por Lebesgue, pero no se necesitan cardinales grandes para construir un modelo en el que cada conjunto de reales tiene la propiedad de Baire (la noción correspondiente a la mensurabilidad para la categoría).

Answer 4

Ya ha habido algunas buenas respuestas a esto. Sin embargo, es algo en lo que también he pensado recientemente, porque resulta que me he encontrado con varios conjuntos escasos de medida completa de Lebesgue en algunas de mis respuestas a otras preguntas. De hecho, en mi experiencia en MO, los conjuntos escasos con medida de Lebesgue completa parecen ser más la regla que la excepción. Así que añadiré estos a la lista.

1. En esta pregunta de math.SE y esta pregunta del modus operandi David Speyer intentaba encontrar el conjunto de θ tal que $\sum_{n=1}^\infty \sin(n^r\theta)/n$ converge (r > 1 un número entero). Le preocupaba el caso de θ = 1 pero, a partir de mi respuesta en MO y de la respuesta de David en math.SE se puede ver que converge para casi todo θ pero, al mismo tiempo, sólo converge para θ en un conjunto exiguo.

2. En una línea similar, esta pregunta del modus operandi se preguntaba para qué θ el límite asintótico $\sum_{n=1}^N{\rm sign}(\sin(n\pi\theta))=O(N^x)$ retenciones. Para 1/2 <  x  < 1 mi respuesta muestra que se mantiene para casi todo θ pero, al mismo tiempo, sólo se mantiene para θ en un conjunto exiguo.

3. Esta pregunta se pregunta si existen matrices C de 2x2 tales que Tr(C n ) es denso en los reales a medida que n recorre los enteros positivos. Bjorn Poonen demuestra que la respuesta es afirmativa. De hecho, su prueba se modifica fácilmente para mostrar que Tr(C n ) no consigue ser denso más que en un conjunto escaso. Sin embargo, mi respuesta muestra que |Tr(C n )| está acotado o tiende a infinito (por tanto, no es denso) para casi todo C.

4. Los ejemplos anteriores se reducen realmente al siguiente punto. El conjunto de números reales con medida de irracionalidad (es decir, los números que no son de Liouville) es escaso. Sin embargo, casi todos los números reales tienen una medida de irracionalidad 2.

De forma similar, el conjunto de números normales es escaso y tiene medida de Lebesgue completa (ver también, La respuesta de Andreas ). El conjunto de números reales cuyos cocientes de fracciones continuas tienen una media geométrica que converge a Khinchin's constante es escasa con la medida completa de Lebesgue. El conjunto de números reales cuyos cocientes de fracciones continuas se dan según la Distribución de Gauss-Kuzmin es escaso con medida de Lebesgue completa. Y así sucesivamente...

Answer 5

Se dan dos ejemplos en Gelbaum y Olmsted, Counterexamples in Analysis. Uno es el ejemplo dado por Bjorn Kjos-Hanssen en su respuesta. El otro es el siguiente. Sea $A_n$ sea un conjunto de Cantor en $[0,1]$ de medida $(n-1)/n$ , $n=1,2,3,\dots$ , dejemos que $A$ sea la unión de los $A_n$ entonces el complemento de $A$ es la medida cero pero no escasa (ni siquiera exigua).