Torsión en la homología o grupo fundamental de subconjuntos del espacio euclidiano

Question

Este es un problema que he encontrado entretenido.

¿Es posible encontrar un subconjunto del espacio euclidiano de 3 dimensiones tal que sus grupos de homología (coeficientes enteros) o uno de sus grupos fundamentales no esté libre de torsión?

Contexto: La pregunta análoga tiene una respuesta negativa en la dimensión 2. Se trata de un teorema de Eda (1998). En dimensión 4 y superior, la respuesta es positiva ya que el plano proyectivo real se incrusta. Si el subconjunto del espacio 3 tiene una vecindad regular con una frontera lisa, un poco de teoría de los 3-manifoldes dice que el grupo fundamental y los grupos de homología son libres de torsión.

edit: Debido al comentario de Autumn Kent y la discusión posterior, se ha descartado la torsión en la homología siempre que el subconjunto de $\mathbb R^3$ es compacto y tiene el tipo de homotopía de un complejo CW (más precisamente, si las cohomologías de Cech y singular coinciden).

Answer 1

No creo que

se ha descartado la torsión en la homología

Ciertamente, la torsión en Cech cohomología se ha descartado para un subconjunto compacto. La fórmula del coeficiente universal "habitual", que relaciona la cohomología de Cech con $\operatorname{Hom}$ y $\operatorname{Ext}$ de la homología de Steenrod, no es válida para subconjuntos compactos arbitrarios de $\Bbb R^3$ (aunque es válido para los ANR, posiblemente no compactos). La fórmula del coeficiente universal "invertido", que relaciona la homología de Steenrod con $\operatorname{Hom}$ y $\operatorname{Ext}$ de la cohomología de Cech es válida para espacios métricos compactos, pero no sirve de nada, porque $\operatorname{Ext}(\Bbb Z[\frac1p],\Bbb Z)\simeq\Bbb Z_p/\Bbb Z\supset\Bbb Z_{(p)}/\Bbb Z$ que contiene $q$ -torsión para todos los primos $q\ne p$ . (Aquí $\Bbb Z_{(p)}$ denota la localización en el primo $p$ y $\Bbb Z_p$ denota el $p$ -enteros de tipo adico. Las dos UCFs se encuentran en la página de Bredon Teoría de la gavilla , 2ª edición, ecuación (9) en la p.292 en la sección V.3 y el teorema V.12.8.)

El comentario sobre $\operatorname{Ext}$ puede convertirse en un ejemplo real. El $p$ -solenoide de la adicción $\Sigma$ es un subconjunto de $\Bbb R^3$ . La homología zeroth de Steenrod $H_0(\Sigma)$ es isomorfo por la dualidad de Alexander a $H^2(\Bbb R^3\setminus\Sigma)$ . Se trata de un grupo de cohomología de un abierto $3$ -que está contenida en $\Bbb R^3$ pero es isomorfo a $\Bbb Z\oplus(\Bbb Z_p/\Bbb Z)$ (utilizando la UCF, o la secuencia exacta corta de Milnor con $\lim^1$ ), que contiene la torsión. Por supuesto, cada cociclo que representa la torsión es "evanescente", es decir, su restricción a cada submanifold compacto es nulo-cohomólogo dentro de ese submanifold.

Con argumentos similares, $H_i(X)$ (homología de Steenrod) no contiene ninguna torsión para $i>0$ para todo subconjunto compacto $X$ de $\Bbb R^3$ .

Es evidente que la "homología de Cech" no contiene ninguna torsión (incluso para un subconjunto no compacto $X$ de $\Bbb R^3$ ), porque es el límite inverso de los grupos de homología de los barrios poliédricos de $X$ en $\Bbb R^3$ . Pero no creo que esto deba tomarse en serio, porque la "homología de Cech" no es una teoría de la homología (no satisface la secuencia exacta del par). La teoría de homología correspondiente a la cohomología de Cech es la homología de Steenrod (que consiste en la "homología de Cech" más una $\lim^1$ -(término de corrección). Algunas referencias para la homología de Steenrod son el artículo original de Steenrod en Ann. Math. (1940), el preprint de Milnor de 1961 (publicado en http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/libros/novikov1.pdf ), el libro de Massey Teoría de la homología y la cohomología. Un enfoque basado en las co-cadenas de Alexander-Spanier El libro de Bredon Teoría de la gavilla (siempre que la gavilla sea constante y tenga tallos finitamente generados) y el papel

• Sergey A. Melikhov, Homotopía de Steenrod , Russ. Math. Surveys 64 (2009) 469-551; traducido al ruso en: Uspekhi Mat. Nauk 64:3 (2009) 73-166, doi: 10.1070/RM2009v064n03ABEH004620 , arXiv: 0812.1407

En cuanto a la torsión en singular $4$ -homología del ejemplo de Barratt-Milnor, se trata en realidad de una pregunta sobre los enlaces superficiales enmarcados en $S^4$ (véase la prueba del teorema 1.1 en el artículo enlazado).

Answer 2

Asumo que el subconjunto es compacto.

Entonces, si se utiliza la cohomología de Cech, La dualidad de Alexander convierte esto en una pregunta sobre el complemento, que es un 3-manifold.

Por lo tanto, respondo con otra pregunta: ¿Puede un submanifold abierto (salvaje) de la 3-esfera tener torsión en su homología? (Mi opinión es que no. Pero entonces no soy RH Bing).

Answer 3

Está el Barratt-Milnor de 1962 ejemplo de la "homología anómala (singular)", mostrando que la racional homología singular de la unión de un punto $X$ de un número contable de esferas $S^2$ con un radio que tiende a $0$ es distinto de cero en todas las dimensiones $>1$ (y de hecho es incontable). Utilizan los mapas de Hurewicz y las sumas infinitas de los productos de Whitehead de los elementos de los grupos de homotopía de las esferas, pero no veo si la torsión en las esferas superiores $\pi_i(S^2)$ podría dar torsión en $H_*(X,Z)$ .

Answer 4

Creo que tu subconjunto de R^3 debe ser bastante feo para tener una oportunidad de luchar. Si es un subpoliedro compacto de R^3, entonces por dualidad de Alexander su k-homología es la misma que la cohomología (2-k)-dimensional de un manifold abierto de 3 dimensiones. El único caso interesante es el de k=1 porque la (co)homología 0 es libre de torsión, pero si el colector abierto es homotópicamente equivalente a un complejo finito entonces por coeficientes universales la primera cohomología es libre de torsión. Esto descarta todos los ejemplos "bonitos".

Answer 5

Propuesta. Supongamos que un subconjunto $X\subset R^3$ es semilocalmente simplemente conectada (SLSC). Entonces para cada $x\in X$ El grupo $G= \pi_1(X,x)$ es libre de torsión.

Prueba. Utilizaré el hecho de que si $U$ es un subconjunto conectado abierto de $R^3$ entonces $\pi_1(U)$ es libre de torsión, véase por ejemplo aquí .

Dejemos que $c: S^1\to X$ sea un bucle que representa un elemento de orden $n$ en $\pi_1(X,x)$ . En consecuencia, dejemos que $c_n: S^1\to X$ sea la precomposición de $c$ con el mapa $z\mapsto z^n$ y $h: D^2\to X$ sea una extensión de $c_n$ al disco de la unidad. La imagen $Y:= h(D^2)$ es compacta y localmente conectada por un camino. Por lo tanto, existe una función $\phi(\delta)$ de manera que si $d(y_1, y_2)\le \delta$ , $y_1, y_2\in Y$ entonces hay un camino de diámetro $\le \phi(\delta)$ en $Y$ conectando $y_1, y_2$ . Además, como $Y$ es compacto y $X$ se supone que es SLSC, existe $\epsilon>0$ de manera que si $\alpha: S^1\to Y$ tiene imagen de diámetro $\le \epsilon$ entonces $\alpha$ se extiende a un mapa continuo $D^2\to X$ .

Ahora, consideremos el sistema de abierto $\frac{1}{i}$ -barrios $U_n$ de $Y$ en $R^3$ . Sea $r: U_i\to Y$ denotan una proyección (probablemente discontinua) del punto más cercano (definida mediante el axioma de elección). Dado que cada grupo $\pi_1(U_i,x)$ es libre de torsión, el mapa $c: S^1\to Y$ se extiende a un mapa (continuo) $f_i: D^2\to U_i$ .

Ahora imitaré el argumento estándar (creo que debido a Borsuk), de la prueba de que cada espacio metrizable compacto de dimensión finita es ANR.

Dada una triangulación $T$ de $D^2$ defino el mapa $g_i: T^{(0)}\to Y$ como la composición de la restricción de $f_i$ a la $T^{(0)}$ con la proyección $r$ . El objetivo es demostrar que para grandes $i$ el mapa $g_i$ se extiende a un mapa $D^2\to X$ que restringe a $c$ en $S^1=\partial D^2$ .

En primer lugar, si $\frac{1}{i}\le \delta$ y $T$ es tal que los diámetros de las imágenes bajo $f_i$ de los bordes de $T$ son $\le\delta$ entonces para cada arista $e=[v,w]$ de $T$ , $d(g_i(v), g_i(w))\le 3\delta$ . Por lo tanto, por la conectividad de la ruta local de $Y$ podemos ampliar $g_i$ a $e$ para que $g_i(e)\subset Y$ tiene un diámetro $\le \phi(3\delta)$ . En el caso de los bordes del disco $D^2$ asumiremos que $g_i|_e=c|_e$ . Obsérvese que para cada 2-simplex $\Delta$ en $T$ el diámetro de $g_i(\partial \Delta)$ es $\le 3\phi(3\delta)$ . Al tomar $i$ suficientemente grande y tomando la triangulación $T$ suficientemente fina, podemos suponer que $3\phi(3\delta)\le \epsilon$ , donde $\epsilon$ se define como en el caso anterior. Por lo tanto, para este valor de $i$ el mapa $g_i$ se extiende a un mapa $g: D^2\to X$ . De ello se desprende que $[c]=1\in G=\pi_1(X,x)$ y, por lo tanto, $G$ es libre de torsión. qed