Encontrar una serie de Laurent que incluya dos polos

Question

Encuentre la serie de Laurent en el anillo $1 < |z| < 4$ para

$$R(z) = \frac{z+2}{(z^2-5z+4)}$$

Así que estoy teniendo algunos problemas con esto. Sé que hay dos polos en este problema particularmente $z = 1$ y $z = 4$ , por lo que si factorizo lo meto en un formulario como:

$$ \frac{z+2}{(z-1)(z-4)} $$

y aquí es donde se pone un poco confuso. Sé que hay una relación en la que tendría que dividir esta expresión en fracciones parciales:

$$ \frac{z+2}{(z^2-5z+4)} = \frac{2}{z-4} + \frac{-1}{z-1} $$

Ahora el libro de texto habla de usar sus series geométricas, lo cual veo un poco, pero no puedo entender cómo obtener los coeficientes. Intenté utilizar el método de tratar cada uno de los numeradores de las fracciones parciales como series de potencias y luego resolver los coeficientes, pero eso no dio resultado. Entonces intenté no expandir la expresión en fracciones parciales e intentar resolver los coeficientes teniendo en cuenta cada singularidad y utilizando la parte restante como una serie de potencias, es decir

$ \frac{z+2}{(z-4)} $ como una serie de potencias y luego $ \frac{z+2}{(z-1)} $ como el otro.

Sigue sin funcionar. Tal vez mis ideas están dispersas.

Answer 1

Es necesario poner cada fracción parcial en la forma $\frac{1}{1-w}$ donde $|w| \lt 1$ para poder utilizar la expansión en serie geométrica.

$\frac{2}{z-4}$ es analítico en $|z| \lt 4$ y $\Big|\frac{z}{4}\Big| \lt 1$ por lo que tenemos: $$ \frac{2}{z-4} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{z}{4}} = -\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{4^n}=\sum_{n=0}^{\infty}-\frac{z^n}{2^{2n+1}} $$

$-\frac{1}{z-1}$ es analítico en $|z| \gt 1$ y $\Big|\frac{1}{z}\Big| \lt 1$ por lo que tenemos: $$ -\frac{1}{z-1} = -\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}} = -\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{z^n} = \sum_{n=0}^{\infty}-\frac{1}{z^{n+1}} $$

Así que en total tenemos: $$ R(z) = \dots -\frac{1}{z^3}-\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z} -\frac{1}{2}-\frac{z}{8}-\frac{z^2}{32}-\dots $$

Answer 2

Mira cuidadosamente tus condiciones..

|z|>1 y |z|<4

Así que para la primera fracción

2/(z-4) toma -4 fuera del denominador. Obtendrás (-1/2)*(1-z/4)^-1 y expandirás el binomio.

Para la segunda fracción se toma z fuera del denominador. Obtendrás (-1/z)*(1-1/z)^-1 y expande el binomio.

Suma ambos finalmente para obtener la serie final de Laurent.

PD: Todavía estoy aprendiendo tex así que escríbelo en una página para que tenga más sentido.