Una pregunta con el infinito

Question

Soy un estudiante de segundo año en la escuela secundaria, y mi profesor de matemáticas hizo una muy breve lección sobre el infinito, así es como se fue: (Intenta resolver cada parte de ti mismo, las primeras dos son de fácil)

Parte 1

Usted tiene un archivo inf. número de cajas de cada uno etiquetado como

[1][2][3][4].....

y que hay una persona en cada uno de estos cuadros. Pero tiene otra serie de cinco cajas, así como

[1][2][3][4][5]

Sólo desea tener un conjunto de cuadros, ¿qué hacer? Usted debe ser capaz de decirle a cada persona lo que el cuadro se debe pasar a la siguiente.

Spoiler

A cada persona se le dice a bajar cinco cajas. O n+5 es una nueva caja, y de las cinco personas de las otras cajas son capaces de moverse en los primeros cinco cajas o sólo n+0.

Parte 2

Bueno, en realidad tiene dos de estos inf. cuadro de conjuntos, pero en realidad solo quiero uno. ¿Y ahora qué? (mismas reglas se aplican)

Cada persona de uno se le dice que vaya a la caja de 2n y cada persona de dos se les dijo que el cuadro de 2n-1

Parte 3

Ahora usted tiene un archivo inf. el número de estos inf. cuadro de conjuntos organizados de manera

1: [1][2][3][4][5]...
2: [1][2][3][4][5]...
3: [1][2][3][4][5]...
4: [1][2][3][4][5]...
5: [1][2][3][4][5]...

y quieren encajar en una inf. cuadro de conjunto, ¿cómo hacerlo. Ella se negó a decirnos la respuesta y nadie en mi clase había averiguado, pero creo que acabo de hacer (me corrigen si estoy equivocado, yo también estoy buscando soluciones alternativas).

Como me pasó en la solución de este problema

Paso 1

Supuse que tenía que haber algún tipo de patrón, así que he intentado un par de

Paso 2

He elegido la siguiente fraseología.
1: [1][3][6][10][15]...
2: [2][5][9][14][]...
3: [4][8][13][][]...
4: [7][12][][][]...
5: [11][][][][]...
Los números en el cuadro representan la nueva caja de cada persona

Paso 3

Empecé a crear una fórmula para la gente encontrar allí a la nueva habitación de la base de que hay corriente número de habitación y el cuadro de número. He encontrado la siguiente secuencia en la que la gente en la primera fila, 1 3 6 10 15. O +2 +3 +4 +5. El que me dijo que era cuadrática de manera que la ecuación tuvo que ser ax^2 + bx + c = nuevo número de la habitación

Paso 4

He encontrado tres ecuación mediante la conexión de los números de habitación y de su correcta nuevos números de habitación para encontrar estas tres ecuaciones:
(1^2) + 1b + c = 1, a + b + c = 1
(2^2)a + 2b + c = 3 o 4a + 2b + c = 3
(3^2)a + 3b + c = 6 o 9a + 3b + c = 6

Paso 5

Después de resolver este sistema tengo la siguiente ecuación 1/2x^2 + 1/2x + 0 = nuevo número de la habitación donde x = corriente número de habitación. Esto, por supuesto, sólo decirle a la gente en las casillas en la parte inferior donde ir. Ahora necesitaba encontrar la forma de colocar el resto de la gente. La primera cosa que noté fue que la gente en la misma diagonal como se ve abajo estaban muy relacionados unos con otros cuando se mira en las habitaciones que acaban en.
[x-4][][][][]
[][x 3][][][]
[][][x-2][][]
[][][][x-1][]
[][][][][x]

La solución

De trabajo de este conocimiento en mi ecuación fue bastante fácil (yo era capaz de hacerlo, mientras que va a correr así que no voy a explicar cómo llegué a mi ecuación). La ecuación es:
(1/2(r+c-1)^2 + 1/2(r+c-1) + 0)-r+1 = nuevo número de la habitación | r = fila | c = columna

Ahora mi pregunta para todos es

1. Es mi ecuación correcta?
2. Hay soluciones alternativas para este problema?
3. Cómo podría caber una matriz 3D de cajas (inf cajas de personas en todo sentido) en una 1D línea de cajas?
4. Puede usted encontrar una manera para adaptarse a n matriz bidimensional de cajas en un 1D línea de cajas?

Para cualquiera de ustedes en JAVA he aquí un pequeño fragmento de código que hice para probar mi respuesta

    package main;

public class Main {

    /**
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int f = 2;
        int r = 1;
        int c = 1;
        while(true){
            double x = (.5*(r+c-1)*(r+c-1) + .5*(r+c-1) + 0)-r+1;
            System.out.print(x +", ");
            c++;
            r--;
            if(r < 1){
                r = f;
                f++;
                c = 1;
            }
        }
    }
}

Answer 1

Hay varias formas de hacerlo. Aquí está uno: $$\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr} 1 & \rightarrow & 2 & & 6 & \rightarrow & 7 & & 15 & \rightarrow & 16 \\ & \swarrow & & \nearrow & & \swarrow & & \nearrow & & \swarrow \\ 3 & & 5 & & 8 & & 14 \\ \downarrow & \nearrow & & \swarrow & & \nearrow \\ 4 & & 9 & & 13 \\ & \swarrow & & \nearrow \\ 10 & & 12 \\ \downarrow & \nearrow \\ 11 \end{matriz} $$

Aquí es otra: $$\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrr} 1 & \rightarrow & 2 & & 9 & \rightarrow & 10 & & 25 & \rightarrow \\ & & \downarrow & & \uparrow & & \downarrow & & \uparrow \\ 4 & \leftarrow & 3 & & 8 & & 11 & & 24 \\ \downarrow & & & & \uparrow & & \downarrow & & \uparrow \\ 5 & \rightarrow & 6 & \rightarrow & 7 & & 12 & & 23 \\ & & & & & & \downarrow & & \uparrow \\ 16 & \leftarrow & 15 & \leftarrow & 14 & \leftarrow & 13 & & 22 \\ \downarrow & & & & & & & & \uparrow \\ 17 & \rightarrow & 18 & \rightarrow & 19 & \rightarrow & 20 & \rightarrow & 21 \end{matriz} $$

Answer 2

Una fórmula más simple para el problema 3 es $r$, $c$ $2^{r-1}(2c-1)$ de la caja de la columna de la fila. Para tres dimensiones puede mover fila $r$, $c$, $l$ $2^{l-1}(2^{r}(2c-1)-1)$ de la caja de la capa de la columna. ¿Véase ¿por qué éstos trabajan y cómo generalizar a $n$ dimensiones?

Answer 3

Permítanme que comente en su solución y algunos de los propuestos en las otras respuestas. Primero de todos, tanto de Michael Hardy fotos llevará a fórmulas más complicada que la suya, porque él va de ida y vuelta en lugar de ir siempre en la misma dirección como lo hizo. En particular, su primera foto es sólo el de ida y vuelta a la versión de la suya, excepto que usted tabulados números en lugar de un dibujo. (Para no relacionado con la matemática de diversiones,usted puede mirar para arriba "boustrophedron".) Hagen von Eitzen, por otro lado, tiene realmente una fórmula simple, y de hecho admite un lugar agradable descripción en términos de mover a la gente de una infinidad de filas de cuadros de una sola fila; voy a llamar a esa única fila de los "objetivos" de la fila. No he comprobado si el siguiente se da exactamente la fórmula de Hagen, pero va a estar cerca. Decirle a la gente en la primera fila de cajas para ocupar cada segundo cuadro de la sola fila de destino, tal y como lo hizo cuando declaró con dos filas de cuadros. Ocupan cuadros de destino $0,2,4,\dots$, dejando infinidad de cajas vacías en la fila de destino, es decir,$1,3,5,\dots$. Ahora dile a la gente en el segundo de su original filas para ocupar cada segundo uno de los que siguen-cajas vacías, es decir,$1,5,9,\dots$, dejando de nuevo una infinidad de cajas vacías, es decir,$3,7,11,\dots$. Continuar de la misma manera con cada una de las sucesivas fila, poniendo sus ocupantes en cada segundo de lo objetivo casillas están vacías; lo que deja una infinidad de cuadros de destino vacío, así que usted puede continuar a la siguiente fila.

Answer 4

La respuesta aún no está completa solución, pero creo que podría ser una idea de cómo abordar el problema usted mismo.
Recuerdo el Collatz-problema en el "syracuse"-declaración y mirar la transformación inversa que permite construir un árbol infinito con infinidad infinitamente larga "cajas" donde cada número natural impar ocurre exactamente una vez (bueno, si todos los números naturales impares ocurrir al menos una vez es muy abierto, pero no iba a estropear el resultado infinito de indización-sistema).
El "syracuse"-declaración de la Collatz transformación con un extraño de un y b y natural de la $A \ge 1$$$ b = {3a+1 \over 2^A} $$, donde el valor de Una y la de b son, por supuesto, se determina únicamente por el valor de una. Pero hay un montón (de hecho infinitamente muchos) de diferentes una que conducen a la misma b, por lo que si queremos invertir la transformación, $$ b = {a 2^A - 1 \over 3} $$ we have for each a by infinitely many A's infinitely many different b, so we could write infinitely many indexed b as $$ b_{A} = {a 2^A - 1 \over 3} $$ and now each of the infinitely many $b_A$ can be treated similarly to get $$c_{A,B} = {b_A 2^B - 1 \over 3} $$ Este esquema se implementa un infinito largo de índice (el infinito número de cajas y cada caja es de longitud infinita. Uno necesita ahora para mostrar, que el que ocurren los valores son únicos, que creo que no es demasiado difícil (es que no la resolución de Collatz, debido a que (sin resolver) conjetura es que los valores no sólo son únicas, pero incluyendo también todos los impares positivos números naturales que hace que sea tan difícil).

(Tengo también otra declaración del mismo problema de la infinitud del infinito papeleras, tal vez puedo reproducir aquí más tarde como una aún más fácil de ver la representación, estoy corto de tiempo en el momento, lo siento)

Answer 5

En primer lugar, felicitaciones a usted para resolver esto!

En cuanto a su pregunta acerca de las posibles generalizaciones a $n$ dimensión. Bueno, supongo que se podría repetir el trabajo que usted hizo para $n=3,4,\ldots$. Hay, sin embargo, una manera más sencilla. Dar un paso atrás y mirar lo que han conseguido. Su función $$ f(r,c) = \frac{1}{2}(r+c-1)^2 + \frac{1}{2}(r+c-1)-r+1 $$ toma un par de números (enteros positivos, para ser precisos) y los asigna a un solo número entero positivo. Y, y ese es el punto, lo hace en un reversiva. Después de todo, cuando la reorganización de las cajas de acuerdo a su función, no agregar o perder cualquier cuadro. Por lo tanto, dado un entero positivo $n$, sólo hay un par de $(r,c)$ que $f(r,c)=n$.

Ahora, supongamos que desea combinar pares de tres números enteros a, que corresponde a un giro infinito cubo de cajas en una línea recta. Usted puede comenzar simplemente con dos de los tres enteros, y asignarlos a un número entero, el uso de su función. A continuación, tome ese valor y el último de los originales de los números enteros, y la invocación de su función de nuevo, terminando con sólo un único número entero. De esta forma se obtiene una función $$ g(r,c,l) = f(f(r,c),l) \text{.} $$ Y esa función es de nuevo reversible. A partir de una $n$ primero puede averiguar $f(r,c)$$l$, y luego proceder a averiguar $r$$c$.

Así que por resolver el problema de dos dimensiones, que se han resuelto para todas las dimensiones finitas!

Ahora la imagen de la siguiente situación. Te encuentras con todo lo finito-dimensional de los casos juntos. En otras palabras, hay una línea de cajas, una de 2 dimensiones de la matriz de cajas, una 3-dimensional del cubo de cajas, una de 4 dimensiones um, bueno, lo de las cajas, y así sucesivamente. En el lenguaje de secuencias de números, se enfrenta con todos los números único, de todos los pares, todos los triples, todas cuádruples, ... ¿Puede asignar todos los de aquellos a un solo número de una manera reversible? Para solucionar esto, recuerde que usted ya ha resuelto este por separado para cada uno de los casos. Por lo tanto, cada cosa que usted quiere mapa ya cae en uno de los resuelto casos. Usted puede re-uso de la solución para ese caso, usted sólo tiene que asegurarse de que al deshacer la asignación, usted tiene una manera de averiguar que caso que fue. Por suerte, el caso en sí mismo está convenientemente representado por un número entero positivo de sí mismo...

Si usted tiene resuelto que, es de nuevo el momento de dar un paso atrás y reflexionar. Tiene usted luego se resuelven las cosas, para el infinito dimensional caso? (es decir, se ha logrado mapa arbitrario de las secuencias de números a un único número?). Considerar, por ejemplo, la secuencia de números de $1,2,3,\ldots$. Se han asignado que a un solo número? Para que eso sea cierto, la secuencia de $1,2,3,\ldots$ tendría que caer en uno de los casos de un solo número, par, triple, ... ¿?

La respuesta es no! Que han tenido éxito en el mapeo de todas las finito secuencias de números a un único número, es decir, todas las secuencias con parada en algún punto. Pueden ser arbitrariamente largo, pero no infinitamente largo que la diferencia crucial.

Ahora vamos a suponer por un momento que se han resuelto las cosas, para el infinito-dimensional caso, es decir, se ha logrado mapa arbitrario de las secuencias de números de un solo números, de forma reversible. Usted puede hacer una lista, cada fila contiene una secuencia infinita y el número de sus asignado. Su lista se completa en el sentido de que cada número y cada secuencia en la lista aparece exactamente una vez. La lista puede ser que como esta $$ \begin{array}{l|l} \textrm{target}& \textrm{sequence} \\ \hline \\ 1& (1,2,3,4,\ldots) \\ 2& (2,3,4,5,\ldots) \\ 3& (1) \\ 4& (100, 101) \\ \ldots&\ldots \end{array} $$

Usted puede imaginar como una lista para ser una función de $g(n,i)$, lo que le da la $i$-ésima en el infinito de la secuencia asignada para el entero positivo $n$. Esto hace que sea posible definir la siguiente secuencia infinita de números positivos $$ g(1,1)+1,\,g(2,2)+2,\,g(3,3)+3,\,\ldots $$ Se puede ver un problema con eso?

Trate de encontrar esta secuencia en la tabla original. Si la tabla está completa, es decir, realmente reversible mapas infinito de secuencias de enteros y espalda, se tiene que estar allí en algún lugar. Sin embargo, la secuencia no puede ser la primera secuencia en la lista (es decir, el uno de ellos asignado a la número 1), ya que su primer elemento difiere - la primera secuencia en la lista ha $g(1,1)$ como su primer elemento, y la secuencia que acabamos de definir se ha $g(1,1)+1$. Pero el mismo argumento se aplica a la segunda secuencia.. y la tercera... por Lo tanto, parece que la tabla no se han completado. Así, resulta que, en el caso de infinitas dimensiones tiene ninguna solución. Usted no puede asignar todos finito y el infinito de secuencias de enteros positivos a una sola enteros positivos!

También puede intentar algo diferente. Trate de asignar finito y lo infinito de secuencias de enteros positivos a los números reales. Puede usted encontrar una manera que hace que de forma reversible, y golpea a cada número real exactamente una vez?