¿De cuántas maneras podemos distribuir 24 balas entre cuatro ladrones?

Question

Al distribuir estas balas, cada ladrón debe tener al menos tres balas, pero no más de ocho.

He intentado resolver esto con funciones generadoras, pero estoy atascado en esta parte en la que no estoy seguro de qué tipo de "truco" usar para continuar..

Mi trabajo (incompleto):

La función generadora de este problema es $$f(x) = (x^3 + x^4 + ....+ x^8)^4$$ donde buscamos el coeficiente de

$$x^(24)$$

$$=(x^3+x^4...+x^8)^4$$ $$=x^(12)( 1 + x+ x^2 + x^3 +x^4 +x^5)^4$$

y utilizando las identidades obtenemos que el coeficiente de x^12 es

(1-x^6)^4 * (1 - x)^-4

esto, por supuesto, es igual a :

[1-4C1(x^6) + 4C2(x^12) - 4C3(x^18) + x^23] * [-4C0 + -4C1(-x) +.......]

En este punto estoy totalmente atascado porque se trata de una gran expansión... y la respuesta es 125. ¿Hay algún método que pueda utilizar para llegar rápidamente a la respuesta o tengo que expandir todo?

Answer 1

En primer lugar, dar a cada ladrón $3$ balas. Entonces terminas distribuyendo $12$ balas a $4$ ladrones de manera que ningún ladrón tenga más de $5$ . Piensa en los cuatro ladrones distinguibles como cajas etiquetadas $1,2,3,4$ y las balas como bolas.

Entonces hay que contar el número de soluciones no negativas de $x_1+x_2+x_3+x_4=12$ donde $x_i\leqslant 5$ . Este es el coeficiente de $x^{12}$ en $(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^{4}$ . Escribe esto como $$f(x)=(1-x^6)^{4}(1-x)^{-4}$$

Ahora $$(1-x^6)^{4}=\sum_{\nu\geqslant 0}\binom{4}\nu (-1)^\nu x^{6\nu}=\sum_{\nu\geqslant 0}\binom{4}{\nu/6}(-1)^{\nu/6}[6\mid \nu]x^{\nu}=\sum_{\nu\geqslant 0}a_\nu x^\nu $$

$$(1-x)^{-4}=\sum_{\nu\geqslant 0}\binom{\nu+3}\nu x^{\nu}=\sum_{\nu\geqslant 0}b_\nu x^\nu$$

Entonces quieres $$[x^{12}]f(x)=\sum_{\nu+\mu=12}a_\nu b_\nu=\sum_{\nu+\mu=12}\binom{\nu+3}\nu \binom{4}{\mu/6}(-1)^{\mu/6}[6\mid \mu]\\= \binom{15}{12}\binom 40-\binom 96\binom41+\binom 30\binom 42=125$$