Discriminante de $x^{n+1}+x$

Question

Quiero calcular el discriminante de $x^{n+1}+x$ .

Es fácil ver que las raíces de este polinomio son $0$ y $e^{(2k+1)\pi i/n},k=0,1,\dots,n-1$ . Pero sigue siendo bastante difícil, si calculamos todos $\sigma_k(c_1,\dots,c_n),k=1,2,\dots,n$ y utilizar la fórmula de Newton para calcular todos los $s_k$ .

¿Hay alguna forma fácil de hacerlo?

Answer 1

Utilice las propiedades de discriminantes y resultantes para cualquier monic polinomio $f$ de grado $d$ , $$\operatorname{disc}f=(-1)^{d(d-1)/2}\operatorname{res}(f,f')=(-1)^{d(d-1)/2}\prod_{x:f(x)=0}f'(x).$$ Para nuestro $f(x)=x^{n+1}+x$ las raíces de $f(x)=0$ son $x=0$ (entonces $f'(x)=1$ ) y el $n$ raíces de $x^n=-1$ (entonces $f'(x)=-n$ ). Por lo tanto, obtenemos $\operatorname{res}(f,f')=(-n)^n$ y $\color{blue}{\operatorname{disc}f=(-1)^{n(n-1)/2}n^n}$ .

Answer 2

Podemos expandir la resultante de $f$ y $f'$ a lo largo de la primera línea (siguiendo las anotaciones aquí ) para obtener : $$\operatorname{res}(f,f') = (-1)^{n}\det \left(\begin{array}{c|c} I_n & I_n \\\hline I_n & (n+1) I_n\end{array}\right)$$ La fórmula para $2\times 2$ El determinante del bloque da entonces : $$\operatorname{res}(f,f') = (-n)^n$$

Por lo tanto, tenemos : $$\operatorname{dis}(f) = (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}\operatorname{res}(f,f') =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n$$