Por qué la regla del trapecio tiene error $\frac16(\Delta x)^2$ para $y=x^2$

Question

Tenemos $\int_0^{\Delta x}x^2dx=\frac13(\Delta x)^3$ y la regla del trapecio da $\frac12(\Delta x)^3$ (véase la figura siguiente). Así que el error es $\frac16(\Delta x)^3$ . También tenemos $\int_{\Delta x}^{2\Delta x}x^2dx=\frac73(\Delta x)^3$ y la regla del trapecio da $\frac52(\Delta x)^3$ . El error es de nuevo $\frac16(\Delta x)^3$ . Del mismo modo, el error es $\frac16(\Delta x)^3$ para todos los demás intervalos. ¿Por qué decimos que la regla del trapecio tiene error $\frac16(\Delta x)^2$ para $y=x^2$ ?

Answer 1

Dato útil $$\int_a^b f(x)\, dx=\frac{b-a}{2} [f(a)+f(b)]-\int_a^b \frac{(b-t)(t-a)}{2} f''(t)\, dt$$

Ahora $f''(t)=2$ , $\forall t\in \mathbb{R}$ $$E_T=-2\int_a^b \frac{(b-t)(t-a)}{2} dt=-\frac{(b-a)^3}{3}$$