Topologías sobre espacios de mapeo

Question

Dados dos espacios topológicos $X, Y$ el único ejemplo que conozco de una topología en el espacio $\mathcal C(X,Y)$ de mapeos continuos de $X$ à $Y$ es la topología compacta-abierta. Sin embargo, supongo que también hay otras topologías interesantes, que son útiles en otras situaciones. ¿Cuáles son algunos ejemplos y cuál es la situación más interesante para su uso?

En particular, ¿hay alguna topología particular interesante si $X$ , $Y$ son ambas variedades suaves y estamos considerando mapas diferenciables en lugar de mapas continuos?

Answer 1

Si se maneja algo de teoría de categorías también se puede averiguar "por qué" es bueno dar esa topología a un espacio de mapeos: el kelleyfication del espacio $c.o.(X,Y)$ de mapas con la topología abierta compacta resulta ser un functor ( $c.o.(X,-)^\text{Ke}\colon A\mapsto c.o.(X,A)^\text{Ke}$ ) que es el mejor candidato para ser un adjunto derecho del functor $B\mapsto B\times Y$ .

Ver Mac Lane, Categorías para el matemático en activo , pp. 185-188, hasta el final del Tm 3.

Answer 2

Otra topología importante en ${\cal C}(X,Y)$ es el topología de convergencia puntual , definida como aquella que tiene como sub-bases conjuntos de la forma

$$ S(x,U) = \left\{ f \in {\cal C}(X,Y) \ \ \vert \ \ f(x) \in U \right\} $$

para todos los puntos $x\in X$ y todos los conjuntos abiertos $U\subset Y$ .

Algunas características de esta topología:

1. Un barrio abierto de $f$ con esta topología consiste en todas las funciones $g$ que están "cerca" $f$ en un número finito de puntos.
2. Esta topología de convergencia puntual también puede considerarse en el conjunto $Y^X$ de todos los mapas de $X$ à $Y$ (no sólo las continuas, ${\cal C}(X,Y)$ ). O, lo que es lo mismo, el producto de una copia $Y_x = Y$ para cada punto $x \in X$ : $Y^X = \prod_{x\in X} Y_x$ . En $Y^X$ Esta topología coincide con la topología habitual del producto.
3. Y la razón de su nombre es que una secuencia de mapas $f_n : X \longrightarrow Y$ converge a $f:X \longrightarrow Y$ con la topología de convergencia puntual si y sólo si, para cada $x\in X$ la secuencia de puntos $f_n(x) \in Y$ converge al punto $f(x)\in Y$ . (En la misma línea, la topología compacta-abierta le da la convergencia uniforme .)

Puedes encontrar todo esto en "Topología" de Munkress, capítulo 7.46.