Puede $U_{ij}$ o $v_{ij}$ en la mecánica del continuo sea negativo?

Question

En la mecánica del continuo, tenemos el gradiente de deformación $\mathbf F$ a ser:

$$d\mathbf x = \mathbf F d \mathbf X$$ Y luego, hacemos una descomposición polar (Una buena referencia aquí sería http://www.continuummechanics.org/cm/polardecomposition.html ), podemos obtener: $$\mathbf F = \mathbf{RU} = \mathbf{vR}$$

donde $\mathbf R$ es el tensor de rotación, y es real, ortogonal propio; $\mathbf U$ y $\mathbf v$ son tensores de estiramiento derecho e izquierdo, y ambos son matrices reales, simétricas y definidas positivamente.

Y mi pregunta es: sé que $\mathbf U$ y $\mathbf v$ son matrices reales, simétricas y definidas positivamente. Mi pregunta actual es: ¿pueden los componentes de $\mathbf U$ y $\mathbf v$ es decir, $U_{ij}$ o $v_{ij}$ ¿alguna vez será negativo? Me parece que siempre son no negativos, porque un "tramo" sólo puede ser de 0 a infinito, y no puede tener longitud negativa en la realidad.

¿Sería esto correcto o incorrecto?

Answer 1

Me cuesta entender la notación de esta pregunta, ya que 1. No estoy familiarizado con los detalles finos de la teoría de la mecánica del continuo y 2. el OP no ha definido todos los símbolos.

No obstante, la segunda ecuación sugiere una descomposición polar, que suele ser de la forma $\mathbf F = \mathbf U|\mathbf F|$ , donde $\mathbf U$ es una matriz unitaria (ortogonal si todo es real) y $|\mathbf F|$ es una matriz positiva (es decir, una matriz simétrica con valores propios en la recta real no negativa). Como ejemplo para la matriz $\mathbf U$ Considera que $$\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta & 0\\-\sin\theta & \cos\theta & 0\\0&0&1\end{bmatrix}.$$ Esta es una posibilidad válida para la matriz $\mathbf U$ que claramente tiene al menos una componente negativa para cualquier ángulo $\theta\in S^1$ .

Answer 2

Una matriz definida positiva tiene todos los valores propios positivos, pero uno o más de los elementos de la matriz pueden ser negativos, por ejemplo \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} tiene valores propios $3, 3, 1$ .