¿se trata de integrales impropias?

Question

Estoy tratando de integrar la función

$f(x)=\int_2^3\frac{1}{(x+1)(\sqrt{(3-x)(x-2)}} dx$

He obtenido el resultado, pero me preguntaba si podemos considerar esta integral como una integral impropia. porque $\sqrt{(3-x)(x-2)}$ y el intervalo $[2,3]$ .

Answer 1

Sí, por supuesto, esto es una integral impropia, entonces observe que como $x\to 2^+$

$$\frac{1}{(x+1)(\sqrt{(3-x)(-2+x)}} \sim \frac{1}{3\sqrt{x-2}}$$

y como $x\to 3^-$

$$\frac{1}{(x+1)(\sqrt{(3-x)(-2+x)}} \sim \frac{1}{4\sqrt{3-x}}$$

y por tanto la integral converge por la prueba de comparación de límites.

Answer 2

No hay ningún problema desde entonces, por Taylor, $$\frac{1}{(x+1)\sqrt{(3-x) (x-2)} }=\frac{1}{3 \sqrt{x-2}}+\frac{\sqrt{x-2}}{18}+O\left((x-2)^{3/2}\right)$$ Haz lo mismo para el límite superior.

Answer 3

$$I=\int_{a}^{b} \frac{dx}{(x-a)^{\alpha}}$$ es impropia pero convergente si $\alpha <1$ Su integral es impropia pero convergente como $\alpha=1/2$ para las dos singularidades en $x=2,3.$ Al final, su integral será finita.

Editar para OP $$I=\frac{1}{1-\alpha} (x-a)^{1-\alpha}|_{a}^{b}=\frac{(b-a)^{1-\alpha}}{1-\alpha} -\frac{(a-a)^{1-\alpha}}{1-\alpha}=\frac{(b-a)^{1-\alpha}}{1-\alpha}-0 ~~~~\text{(finite)},$$ si $\alpha <1$ .