Extiende el mapa de Alexander-Whitney y Eilenberg-Zilber a productos tensoriales n-veces

Question

Ver la definición de la transformación de Alexander-Whitney:

http://ncatlab.org/nlab/show/Alexander-Whitney+map

y la transformación de Eilenberg-Zilber:

http://ncatlab.org/nlab/show/Eilenberg-Zilber+map

¿Existe una forma natural u obvia de extenderlas a potencias tensoriales superiores, es decir, digamos

$$\Delta_{A_1,\ldots,A_n} : C(\otimes_{j=1}^n A_j) \to \otimes_{j=1}^n C(A_j)$$ y $$\nabla_{A_1,\ldots,A_n} : \otimes_{j=1}^n C(A_j) \to C(\otimes_{j=1}^nA_j)$$

o a la serie de potencias tensoriales infinitas, ¿de manera que la adjunción siga presente?

(Mi primer suposición obvia es simplemente iterarlas usando la asociatividad del producto tensorial habitual, pero no estoy seguro si es tan simple debido a preocupaciones sobre el entrelazado y los signos)

Answer 1

Sí, hay una generalización a un número finito de complejos simpliciales. Una referencia es Corolario 2.2 en el artículo

  

Eilenberg, MacLane: Sobre los grupos $H(\Pi,n)$, II: Métodos de cálculo, Ann. of. Math. 60(1954), No. 1, 49 - 139.

Usando las definiciones de nLab, los mapas se dan de la siguiente manera:

1) Deja que $a_i \in A_i$ sea homogéneo. $$\nabla(a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) = a_1 \nabla a_2 \nabla ... \nabla a_n$$ (bien definido ya que $\nabla$ es asociativo)

2) Deja que $a_i \in (A_i)_m$. $$\Delta(a_1 \otimes \cdots \otimes a_n) = \sum \displaystyle \otimes_{i=1}^n\displaystyle\tilde{d}^{m-j_i}d_0^{j_{i-1}}a_i$$ donde la suma se toma sobre $0 \le j_1 \le \cdots \le j_{n-1} \le m$ y $\tilde{d}^{m-j_n},\;d_0^{j_0}$ se interpreta como identidad.