¿Existe una buena manera de pensar en los ciclos de fuga y en los ciclos cercanos?

Question

De vez en cuando me encuentro con literatura que invoca la maquinaria de los ciclos de fuga con una frase críptica como "esto se deduce de un argumento de ciclo de fuga estándar". ¿Existe una buena forma de ver los ciclos de fuga, los ciclos cercanos y la especialización? Tengo una idea decente de cómo funciona algo de esto para estudiar la cohomología de una familia plana de un parámetro de las variedades complejas degeneradas (ver más abajo), pero la imagen general de la gavilla todavía me da dolor de cabeza. Cualquier principio de reconocimiento (por ejemplo, "este parece un lugar en el que puedo utilizar un argumento de ciclo de fuga") sería bienvenido.

Digamos que tengo una familia de variedades complejas en las que las fibras son suaves sobre un disco unitario perforado, y tienen algunas singularidades leves sobre cero (a priori las singularidades podrían ser arbitrariamente malas, pero digamos que explotamos hasta tener cruces normales simples). La cohomología de las fibras forma un haz vectorial sobre el disco perforado, y viene equipada con alguna estructura extra, como una filtración pura de Hodge y una conexión de Gauss-Manin que identifica las fibras cercanas. Cuando intentamos extender el haz vectorial sobre todo el disco, las estructuras adicionales degeneran: la estructura de Hodge se vuelve "mixta" y la conexión adquiere singularidades logarítmicas. Estas estructuras no son inmediatamente relevantes para esta cuestión, pero parecen ser interesantes.

Por lo que sé, los ciclos de fuga y los ciclos cercanos surgen cuando intentamos relacionar la cohomología de las fibras lisas X _t con la de la fibra especial X ₀ . Cada fibra lisa X _t tiene un mapa de inclusión al espacio total X, y X es equivalente en homotopía a X ₀ por una retracción de las fibras. La composición da lugar a un mapa de X _t a X ₀ y el pushforward de una gavilla sobre X _t a lo largo de este mapa produce la gavilla de ciclos cercanos. Cuando empiezo con la gavilla constante sobre X _t esto da lugar a una gavilla sobre X ₀ que calcula la cohomología de X _t por alguna razón abstracta sin sentido. Hasta ahora, estoy bien, pero parece que la elección de t no es lo suficientemente canónica, por lo que se sustituye X _t con la fibra universal homotópica equivalente X _oo sobre la cubierta universal del disco perforado (el semiplano superior), y define los ciclos cercanos mediante alguna secuencia loca de pullback-pushforward-pullback. La especialización y los ciclos de fuga parecen ser similares -creo que hay una bonita imagen geométrica en alguna parte, pero la proliferación de estrellas superiores e inferiores me entristece. ¿Hay una buena manera de ver a través de esa espesura?

Answer 1

En general, no creo que haya nada fácil en los ciclos de cercanía y desaparición. Sin embargo, me parece esclarecedor considerar simplemente su topología. A saber, si $f:X \to \Bbb C$ es una función sobre una variedad algebraica compleja (o analítica), entonces la cohomología de tallo del functor de ciclos cercanos aplicada a algún complejo de gavillas $F$ en un punto $x \in f^{-1}(0)$ es simplemente la cohomología (con respecto a $F$ ) de la fibra Milnor de $f$ en $x$ . Dada la utilidad de las fibras de Milnor en el estudio de la topología de los espacios singulares, creo que esto es una buena motivación para el functor de los ciclos cercanos: en cierto sentido, agrupa la información de todas las fibras de Milnor en una sola gavilla.

Ahora también se pueden utilizar muchos resultados interesantes sobre las fibras de Milnor para decir cosas sobre estos grupos de cohomología del tallo y su monodromía. Por ejemplo, si f tiene una singularidad aislada, entonces la fibra singular de Milnor es homotópica a un ramillete de n-esferas, donde n viene dado por el llamado número de Milnor. La monodromía se puede calcular a menudo con la ayuda del teorema de Thom-Sebastiani, que dice que si $f = g + h$ (donde $g,h$ son funciones sobre subvariedades distintas de $X$ de forma que su suma tenga sentido como función sobre $X$ ) entonces la monodromía de la fibra de Milnor con respecto a $f$ es el producto tensorial de las monodromías con respecto a $g$ y $h$ .

Si también nos interesan los ciclos de fuga, entonces podemos dar una descripción topológica similar de los grupos de cohomología del tallo. Dejando que $i$ denotan la inclusión de $f^{-1}(0)$ en $X$ tenemos el triángulo exacto con el mapa de especialización $i^*F$ a los ciclos cercanos de $F$ y el mapa canónico de los ciclos cercanos de $F$ a los ciclos de fuga de $F$ (aunque quizás no debería llamarse canónico porque es el cono del mapa de especialización). De todos modos, observar la secuencia exacta larga asociada proporciona una descripción topológica de los ciclos de fuga (en particular si $f$ es suave entonces los ciclos de fuga son cero y obtenemos un isomorfismo entre $i^*F$ y los ciclos cercanos de $f$ ).

Me gustaría poder decir más sobre el tipo de principio de reconocimiento que estás buscando, pero el único lugar donde he encontrado ciclos cercanos es en la teoría de Springer, donde los ciclos cercanos del mapa cociente adjunto aplicado a la gavilla constante es isomorfo al pushforward de la gavilla constante bajo la resolución de Springer (y por lo tanto la acción de monodromía determina la acción del grupo de Weyl sobre la cohomología de las fibras de Springer). Quizás en este caso lo que hay que notar es que el cono nilpotente es singular y también la fibra sobre cero del mapa cociente adjunto, lo que hace que parezca un candidato potencialmente bueno para los argumentos de los ciclos cercanos?

Answer 2

A mí también me gustó mucho el mencionado artículo de Massey, pero supongo que las mejores descripciones siguen siendo las de Deligne en SGA 7,parte II, capítulos 13, 14, donde incluso dibuja algunas figuras (BTW, mi impresión a partir de esos capítulos y de algunas formulaciones en otros artículos de Deligne es que pensó en generalizaciones, aparentemente nunca publicadas). He encontrado a Wall: "Períodos de integrales y topología de variedades algebraicas" , Griffiths "resumen" y su "Periodos III" muy útil, partes de esto libro de motivación también. Arthur Ogus estudia los ciclos de desvanecimiento/cercanía en el contexto de la log-geometría. Relacionado con el tema está el teorema de la monodromía local, sobre eso, la conjetura de monodromía-peso, etc., me pareció muy bueno el artículo de Illusie en Asterisque 223.

Answer 3

Yo también tengo muchas dificultades para ver lo que está pasando, y no soy un experto, así que tómate esto con un grano de sal.

He aquí una pequeña imagen (que quizá ya conozcas) que me ha resultado útil: La descripción de Massey de los "ciclos de fuga en ángulo \theta "(ver http://arxiv.org/abs/math/9908107 alrededor de la página 23) que da la intuición geométrica para el paso de X_{ \infty } a su cubierta universal. A saber, restringe tu familia al segmento donde t está en e^{i \theta } [0, \epsilon ], es decir, un rayo que emana del origen en el plano complejo; entonces proceda como lo hizo antes, excepto que que no se necesitan coberturas locas, porque su base es ahora contractible. Esto da un functor (isomorfo a los ciclos cercanos para cualquier \theta ) junto con una acción de monodromía.

Answer 4

Una cosa que entiendo es que ciclos de fuga son más que las singularidades - hay una versión derivada que es más interesante. A mí también me gustaría obtener una respuesta. Esto también es importante para los físicos, por ejemplo hep-th/0605206