Teoría del campo de la clase de aprendizaje: ¿Primero local o global?

Question

Me he dado cuenta de que parece haber dos enfoques para aprender la teoría del campo de clases. El primero es aprender primero sobre los campos locales y la teoría de campos de clases locales, y luego demostrar los teoremas básicos sobre la teoría de campos de clases globales a partir de los hechos locales correspondientes. Esto a menudo significa que la teoría de campos de clases global recibe la formulación idélica, ya que los campos locales ya han sido cubiertos.

Por otra parte, estoy a punto de hacer un curso sobre teoría de campos de clases (que es la secuela de un curso de licenciatura sobre teoría algebraica de números y funciones zeta/L básicas) que se sumerge directamente en la teoría global de campos de clases y seguirá las formulaciones originales (de los años 20) (teóricas ideales) y las pruebas de los resultados básicos.

Me pregunto cuál es la opinión de la gente sobre los dos enfoques diferentes de la teoría del campo de clases. ¿Tiene más sentido empezar por lo local e ir a lo global, o es mejor aprender el tema más históricamente? Le pregunté a mi profesor aquí en Princeton sobre el tema, ya que era consciente de que el curso de CFT de Harvard empieza por lo local, y me respondió que, dado que lo que realmente nos interesa son los campos numéricos de todos modos, es mucho más relevante proceder inmediatamente con la teoría de campos de clases global. ¿Qué opinas?

EDITAR/ACTUALIZAR: A partir de las aportaciones de este hilo y de la experiencia adquirida, éste es el enfoque que he decidido seguir:

1. Aprender la teoría del campo de clase global utilizando pruebas más elementales, siguiendo algo como Janusz (u otra fuente si no te gusta el estilo de Janusz)

2. Aprenda las pruebas de cohomología de la teoría de campo de clase local. Me gusta especialmente Milne para esto.

3. Continúa y aprende la demostración de la teoría de campo de clase global utilizando la cohomología de los ídolos. Podrías continuar en Milne, o probar los capítulos de Cassels-Frohlich

Answer 1

Mi experiencia fue similar a la de David Speyer. Mi primer encuentro con la teoría de los campos de clase fue el muy motivador "Introducción a la construcción de campos de clase" de H. Cohn. Ese libro motiva a través de preguntas sobre triángulos racionales, primos representados por formas cuadráticas, analogías de las superficies de Riemann y el uso de formas modulares, el icosaedro de Klein. Otro aspecto muy motivador es el idea topológica detrás de la generalización de Kato , describiendo $\pi_1^{ab}$ de un esquema de diferentes maneras, y el geometría asociado con eso y ${\mathbb{F}}_1$ -yoga. Conc. el enfoque cohomológico, mi impresión fue opuesta a la de Arminius.

Answer 2

Hay tres lenguajes para la teoría del campo de clases, el primero es analítico, como el libro de Iwasawa, el segundo es el uso de ideales o ídolos, como el libro de Niekrich, el último es más poderoso - la cohomolgia, como las notas de Milne en su página web. Mi experiencia fue de local a global usando la cohomolgia.

Answer 3

Creo que el libro de Iwasawa "Local class field" es el mejor para ti.Si no lo encuentras en tu biblioteca,tal vez pueda enviarte un e-vision.Mi email es: where189@yahoo.com.cn.

Answer 4

¿Alguien tiene idea de dónde podría encontrar un libro o apuntes que desarrollen la teoría de los campos de clase utilizando los métodos analíticos elementales?

EDITAR: Ver Referencia para el aprendizaje de la teoría global de los campos de clase utilizando las pruebas analíticas originales? para las respuestas a esta pregunta.