Teoría del campo de la clase de aprendizaje: ¿Primero local o global?

Question

Me he dado cuenta de que parece haber dos enfoques para aprender la teoría del campo de clases. El primero es aprender primero sobre los campos locales y la teoría de campos de clases locales, y luego demostrar los teoremas básicos sobre la teoría de campos de clases globales a partir de los hechos locales correspondientes. Esto a menudo significa que la teoría de campos de clases global recibe la formulación idélica, ya que los campos locales ya han sido cubiertos.

Por otra parte, estoy a punto de hacer un curso sobre teoría de campos de clases (que es la secuela de un curso de licenciatura sobre teoría algebraica de números y funciones zeta/L básicas) que se sumerge directamente en la teoría global de campos de clases y seguirá las formulaciones originales (de los años 20) (teóricas ideales) y las pruebas de los resultados básicos.

Me pregunto cuál es la opinión de la gente sobre los dos enfoques diferentes de la teoría del campo de clases. ¿Tiene más sentido empezar por lo local e ir a lo global, o es mejor aprender el tema más históricamente? Le pregunté a mi profesor aquí en Princeton sobre el tema, ya que era consciente de que el curso de CFT de Harvard empieza por lo local, y me respondió que, dado que lo que realmente nos interesa son los campos numéricos de todos modos, es mucho más relevante proceder inmediatamente con la teoría de campos de clases global. ¿Qué opinas?

EDITAR/ACTUALIZAR: A partir de las aportaciones de este hilo y de la experiencia adquirida, éste es el enfoque que he decidido seguir:

1. Aprender la teoría del campo de clase global utilizando pruebas más elementales, siguiendo algo como Janusz (u otra fuente si no te gusta el estilo de Janusz)

2. Aprenda las pruebas de cohomología de la teoría de campo de clase local. Me gusta especialmente Milne para esto.

3. Continúa y aprende la demostración de la teoría de campo de clase global utilizando la cohomología de los ídolos. Podrías continuar en Milne, o probar los capítulos de Cassels-Frohlich

Answer 1

Aprendí la teoría de campos de clase en la secuencia de teoría de números algebraica de dos semestres de Harvard a la que aludió Davidac897, así que realmente sólo puedo hablar del enfoque "local primero" (ni siquiera sé cuál sería un buen libro a seguir para hacer el otro enfoque, aunque encontré esto interesante reseña del libro que parece relevante para el tema que nos ocupa).

Esta es una pregunta difícil de responder, en parte porque "local-first/global-first" no es la única decisión pedagógica que debe tomarse al enseñar/aprender la teoría del campo de clases, pero sobre todo porque la respuesta depende de lo que se quiera obtener de la experiencia de aprender la teoría del campo de clases (por supuesto, también depende de lo que ya se sepa). La teoría de los campos de clase es un tema muy amplio y es bastante fácil perder el bosque por los árboles (no es que esto sea necesariamente algo malo; los árboles son bastante interesantes por sí mismos). A continuación, se enumeran una serie de cosas diferentes que uno podría querer obtener de un curso de teoría de campos de clases, sin ningún orden en particular (tenga en cuenta que esta lista es probablemente un poco sesgada basada en mi propia experiencia).

(a) un conocimiento práctico de los resultados importantes de la teoría del campo de clases (global) y la capacidad de aplicarlos a situaciones relevantes. Esto es más o menos independiente de los puntos siguientes, ya que no es necesario entender las pruebas de los resultados para aplicarlos. Apoyo la recomendación de Pete Clark del libro de Cox /Primas de la forma x^2 + ny^2/.

Ahora pasamos a las pruebas de la teoría de los campos de clase:

(b) la comprensión de la estructura y las propiedades básicas de los campos locales y de las cosas adelicas/idelicas (no la teoría de los campos de clase en sí, sino el material que podría enseñarse en un curso que cubra la teoría de los campos de clase si no se asume como requisito previo).

(c) conocimiento de la maquinaria y las técnicas de la cohomología de grupos/cohomología de Galois, o de las técnicas algebraicas utilizadas en las pruebas no cohomológicas de la teoría de campos de clases. La mayoría de las presentaciones "modernas" de la teoría de campos de clases locales utilizan el lenguaje de la cohomología de Galois. (Sin embargo, no es necesario; se puede hacer todo el álgebra implicada sin cohomología. La cohomología es útil para organizar la información implicada, pero puede parecer un mazo demasiado grande para las personas con menos experiencia en álgebra homológica).

(d) la comprensión de la teoría de los campos locales de clase y las pruebas de los resultados implicados (normalmente a través de la cohomología de Galois de los campos locales) como se hace, por ejemplo, en /Local Fields/ de Serre.

(e) la comprensión de las formaciones de clase, es decir, la estructura algebraica/axiomática subyacente que es común a la teoría del campo de clases local y global. (En ambos casos, los principales resultados de la teoría de los campos de clases se derivan más o menos de los axiomas de las formaciones de clases; lo que hace que los resultados de la teoría global de los campos de clases sean más difíciles de demostrar que los de la versión local es que, en el caso global, es mucho más difícil demostrar que los axiomas de las formaciones de clases se cumplen.

(f) comprender las pruebas de las "partes difíciles" de la teoría global de los campos de clase. Dependiendo del enfoque de cada uno, estas pruebas pueden ser analíticas o algebraicas (históricamente, las pruebas analíticas fueron las primeras, lo que presumiblemente significa que eran más fáciles de encontrar). Si se opta por la vía analítica, también se obtiene:

(g) comprensión de las funciones L y su conexión con la teoría de campos de clase (la densidad de Chebotarev y su demostración pueden entrar aquí). Este es el punto del que menos sé, así que no diré nada más.

Hay un par de temas más que se me ocurren que, aunque no son necesarios para un curso que cubra la teoría de los campos de clase, podrían surgir (y lo hicieron en los cursos que tomé):

(h) las conexiones con el grupo de Brauer (normalmente se hace a través de la cohomología de Galois).

(i) ejemplos de teoría de campo de clases explícitas: en el caso local sería a través de los grupos formales de Lubin-Tate, y en el caso global con un campo base cuadrático imaginario sería a través de la teoría de las curvas elípticas con multiplicación compleja (j-invariantes y funciones elípticas; el libro de Cox mencionado anteriormente es una buena referencia para esto).

Obviamente, esto es mucho, y nadie va a dominar todo esto en un primer curso; aunque en teoría mi secuencia de dos semestres cubría todo esto, siento que las principales cosas que saqué de ella fueron (c), (d), (e), (h), y (i). (Ya sabía (b), adquirí (a) más al hacer investigaciones relacionadas con la teoría del campo de clases antes y después de tomar el curso, y (f) y (g) nunca las aprendí muy bien). Un curso más orientado a la historia del tipo que mencionas probablemente cubriría mejor (a), (f) y (g), mientras que obviaría (b-e).

La elección de una u otra depende en gran medida del tipo de matemáticas que le interesen a uno. Si el objetivo principal es ser capaz de utilizar la teoría de campos de clases como en (a), uno puede simplemente leer el libro de Cox o un tratamiento similar y saltarse la teoría de campos de clases locales. Las personas con inclinación algebraica encontrarán que vale la pena aprender la cohomología en los puntos (c) y (d) por sí misma, y les resultará más sencillo tratar primero el caso local. Del mismo modo, las personas que prefieren la teoría analítica de los números o el estudio de las funciones L en general probablemente preferirán los conocimientos que obtienen al pasar por (g).

No estoy seguro de llegar a una conclusión aquí: Supongo que lo que quiero decir es que tomé el camino "moderno" de la cohomología de Galois (donde por "moderno" queremos decir "desarrollado por Artin y Tate en los años 50") y, siendo definitivamente del tipo algebraico, disfruté de lo que aprendí, pero todavía sentí que no tenía un buen control sobre el panorama general. (Nota: aprendí el material de Cassels y Frohlich principalmente, pero si tuviera que elegir un libro para alguien interesado en tomar la ruta local-primera probablemente sugeriría /Teoría de números algebraica/ de Neukirch en su lugar). Otros enfoques pueden dar una mejor visión del panorama general, pero puede ser difícil mantener la vista en el panorama general cuando se repasan los detalles sangrientos de la demostración de todo.

(PD, dirigido al cartel, al que conozco personalmente: David, si estás interesado en un consejo orientado a tu situación específica, por supuesto que puedes ponerte en contacto conmigo directamente al respecto).

Answer 2

No hay un camino real hacia la teoría del campo de la clase - para entenderlo bien va a tomar mucho tiempo y múltiples exposiciones, no importa qué.

Dicho esto, al cubrir este material en los cursos de la UGA he tenido cierto éxito con el siguiente enfoque: primero discutir los enunciados de la teoría de campo de clase global en el lenguaje teórico ideal clásico, y dar alguna motivación para estos resultados. Por ejemplo, el libro de Cox Primas de la forma x^2 + ny^2 es bueno para esto: algunas notas de clase para un curso basado en el libro de Cox están disponibles en

http://math.uga.edu/~pete/primesoftheform.html

Entonces recomendaría estudiar la teoría de campos de clases locales desde la perspectiva de la cohomología de Galois. Para ello, el libro de Serre Campos locales sigue siendo un clásico; Jim Milne también tiene unos apuntes de conferencias muy buenos.

Sólo entonces me atrevería a entrar en el terreno de la teoría de clases global idelotética. Pero, de nuevo, esto son sólo mis dos centavos.

Answer 3

Sí, tal como lo describes correctamente, hay dos enfoques principales de la teoría de campos de clases, el enfoque clásico (años 20) en términos de ideales, y el enfoque posterior (Chevalley-Artin-Tate) en términos de ídolos y cohomología. El primero te lleva a los principales teoremas de forma más rápida y sencilla, pero el segundo te da mucho más. Afortunadamente, no son incompatibles, así que aprender el enfoque clásico será de gran ayuda si luego decides aprender el segundo enfoque.

Answer 4

Como muchas personas han indicado anteriormente, la teoría de los campos de clase es grande y difícil, y ningún enfoque va a hacerla fácil.

Mi experiencia personal fue que era crucial entender los enunciados de los principales teoremas de la teoría de campos de clase mucho antes de aprender cualquiera de las pruebas. Intenté aprender la teoría de campos de clases con muchos libros y profesores antes de conseguirlo, y creo que esto fue lo que hizo que todo encajara para mí. En mi opinión, los resultados de la teoría de campos de clases son un hermoso conjunto cohesionado. A menudo es fácil ver cómo son consistentes y se implican parcialmente entre sí, mientras que ver por qué cualquiera de ellos es verdadero es muy difícil.

Para ello, sugeriría aprender los enunciados globales antes que los locales, porque son más elementales y porque probablemente tengas más experiencia con extensiones de campos numéricos que con extensiones de campos locales. No creo que importe mucho el orden en que se aprendan las pruebas.

Answer 5

Tal vez nadie más comparta mi opinión, pero soy un admirador del enfoque de Neukirch sobre la teoría de campos de clases locales y globales, tal como se presenta en su libro sobre teoría algebraica de números. Neukirch construye un marco abstracto que incluye varios objetos y condiciones que luego inducen un concepto de teoría de campos de clases. Todo ello se basa en la situación de los campos locales y la correspondencia entre los elementos primos y los automorfismos de Frobenius para las extensiones no ramificadas. Por lo tanto, uno tiene una buena motivación para este enfoque y además es bastante elemental (aunque tengo que admitir que la verificación de la multiplicatividad del morfismo de reciprocidad es "sucia", pero uno puede creer esto y ahorrar algo de tiempo). En particular, no se utiliza la cohomología de grupo. A continuación, Neukirch muestra cómo obtener realmente la teoría de campos de clases locales a partir de este enfoque abstracto. La verificación de las condiciones mencionadas no es tan difícil (el teorema de existencia requiere trabajo adicional). Por lo tanto, creo que este es un gran camino hacia el concepto general de las teorías de campos de clases, siendo la teoría de campos de clases locales el primer ejemplo y la motivación. La cuestión es que a partir del mismo marco abstracto también se puede obtener una teoría de campos de clases global. Desgraciadamente, esto es más técnico, pero creo que también proporciona mucha información.

Para mí el enfoque cohomológico a través de la dualidad Nakayama-Tate siempre fue un misterio. Creo que si uno no aprende cómo la cohomología de grupo apareció implícitamente a través de las consideraciones teóricas del álgebra en la teoría de campos de clase, entonces seguirá siendo un misterio. Pero esto puede ser sólo el resultado de mi falta de conocimiento...

Se podría señalar que un inconveniente del enfoque de Neukirch es que no se obtiene información sobre los grupos de cohomología superiores, lo cual es importante en otros casos. Pero como el axioma del campo de clases de Neukirch implica que el módulo discreto considerado da una formación de clases, no estoy seguro de que esto sea realmente cierto...