Encuentre la representación en serie de la potencia para $f(x) = (4 − x)^{−3}$

Question

Encuentra una representación en serie de potencias centrada en el origen para la función $$f(x) = (4 x)^{3}.$$

Answer 1

Podemos calcular las derivadas directamente. Un enfoque alternativo es observar que $4-x=4\left(1-\frac{x}{4}\right)$ . Así, $$(4-x)^{-3}=\frac{1}{4^3} \left(1-\frac{x}{4}\right)^{-3}.$$ Ahora encontraremos la expansión en serie de potencias de $(1-t)^{-3}$ . Obsérvese que la segunda derivada de $(1-t)^{-1}$ es $2(1-t)^{-3}$ .

Sabemos que la expansión en serie de potencias de $(1-t)^{-1}$ es $1+t+t^2+t^3+t^4+\cdots$ . Así que diferenciamos dos veces, y juntamos las piezas.

Answer 2

El teorema del binomio funciona para exponentes negativos utilizando la identidad $$ \binom{-n}{k}=(-1)^k\binom{n+k-1}{k} $$ Enchufar $n=3$ obtenemos $$ \begin{align} \binom{-3}{k} &=(-1)^k\binom{k+2}{k}\\ &=(-1)^k\binom{k+2}{2}\\ &=(-1)^k\frac{(k+1)(k+2)}{2} \end{align} $$ Así, $$ \begin{align} (4-x)^{-3} &=\frac1{64}\left(1-\frac x4\right)^{-3}\\ &=\frac1{128}\sum_{k=0}^\infty(k+1)(k+2)\left(\frac x4\right)^k \end{align} $$