Curvas con la misma velocidad y distancia al origen

Question

Dejemos que $\alpha,\beta:[0,1]\to\mathbb{R}^2$ sean dos curvas suaves que satisfacen $|\alpha(t)| = |\beta(t)|$ y $|\dot{\alpha}(t)| = |\dot{\beta}(t)|$ para todos $t\in[0,1]$ . Es decir, $\alpha$ y $\beta$ tienen la misma velocidad y están a la misma distancia del origen.

¿Existe una matriz de rotación $Q$ (con determinante posiblemente negativo) tal que $\alpha(t) = Q\beta(t)$ ?

Parece que la respuesta es sí. La velocidad $|\dot{\alpha}|$ debería ser suficiente para saber la rapidez con la que la curva da la vuelta al círculo. Esto parece ser suficiente para recuperar los datos angulares de la curva, pero no conozco una buena manera de hacer esto preciso.

Answer 1

Por desgracia, no es cierto. Dejemos que

$$ f(x) = \begin{cases} e^{-1/x}, &x >0, \\ -e^{-1/x}, & x<0, \\ 0 , & x=0. \end{cases}.$$ Entonces $\alpha (t) = (f(t), 0)$ y $$\beta (t) =\begin{cases} (f(t) , 0) & t \le 0, \\(0,f(t)) & t >0\end{cases}$$ satisfacer su condición, pero no hay rotación enviando la línea recta $\alpha$ a una esquina $\beta$ .

Por otro lado, tu afirmación es cierta cuando supones que las curvas no pasan por el origen. Para ver esto, dejemos que \begin{align} \alpha (t) &= r(t) e^{i\theta_\alpha (t)}, \\ \beta (t) &= r(t) e^{i\theta_\beta (t)}, \end{align}

(nótese que tenemos el mismo $r$ desde $|\alpha (t)| = |\beta (t)|$ . La diferenciación da

\begin{align} \dot\alpha (t) &= \dot r(t) e^{i\theta_\alpha (t)} + i\dot\theta_\alpha r(t)e^ {i\theta_\alpha(t)}, \\ \dot\beta (t) &= \dot r(t) e^{i\theta_\beta (t)} + i\dot\theta_\beta r(t)e^ {i\theta_\beta(t)}, \end{align} y

\begin{align} |\dot\alpha (t)| &= |\dot r(t)| +|\dot\theta_\alpha| |r(t)|, \\ |\dot\beta (t)| &= |\dot r(t)| +|\dot\theta_\beta| |r(t)|. \end{align}

Desde $r(t) \neq 0$ para todos $t$ se concluye que $\dot\theta_\alpha (t) = \pm \dot\theta_\beta (t)$ o

$$ \theta_\alpha (t) = \pm \theta_\beta (t) + C.$$

Esto implica la existencia de tales $Q$ .