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La definición de esquema de grupo finito.

Estoy leyendo algunos materiales sobre esquemas de grupo.Estoy muy confundido sobre algunas definiciones.Sé lo que es un esquema de grupo y también sé lo que es un esquema de grupo afín sobre kk , kk es un anillo conmutativo con identidad, pero no encuentro la definición del esquema de grupos finitos sobre kk .

Supongo que un esquema de grupo finito sobre kk es como SpecASpecA , AA es kk -de tipo finito. ¿Es correcto? ¿Podría darme una definición estricta? ¿Y el esquema de grupo finito tiene relación con el grupo?

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Mike Strand Puntos 126

Un mapa de esquemas afines Spec(B)Spec(A)Spec(B)Spec(A) es finito si el homomorfismo correspondiente ABAB hace BB en un módulo generado finitamente sobre AA . Un esquema de grupo finito (afín) sobre kk es un esquema de grupo Spec(A)Spec(k)Spec(A)Spec(k) tal que kAkA hace un AA un edificio finitamente generado kk -módulo. En el caso de que kk es un campo, entonces AA es un espacio vectorial de dimensión finita, por lo que sólo tiene un número finito de puntos.

Si no quieres limitarte a los esquemas de grupos afines GG , se puede imaginar que el morfismo GSpec(k)GSpec(k) sólo tiene que parecerse localmente a la anterior, es decir GG tiene una cobertura por afines Spec(Aα)Spec(Aα) de manera que cada AαAα es un módulo generado finitamente sobre kk .

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Mandy Puntos 26

Los regímenes de grupo se consideran (¿normalmente?) sobre algún régimen fijo SS . Un esquema de grupo finito GG es un esquema de grupo que es finito en SS que es no es lo mismo como ser de tipo finito en SS . Esto significa que localmente, por ejemplo, para G=Spec(A)G=Spec(A) y S=Spec(k)S=Spec(k) el anillo AA se genera finitamente como un kk -módulo. Si kk es un campo, significa que AA es un espacio vectorial de dimensión finita. Por lo tanto, si SS es el espectro de un campo algebraicamente cerrado, entonces la condición implica inmediatamente que GG es un conjunto finito de puntos cuando se considera como una variedad.

¿tiene relación el esquema de grupo finito con el grupo?

Aplausos para la geometría algebraica. ¡Claro que sí! Un esquema de grupo es una generalización de un grupo. Tomemos mi ejemplo anterior, es decir, supongamos SS para ser el espectro de un campo algebraicamente cerrado y ver GG como kk -variedad. Entonces podemos identificar GG con sus puntos cerrados y los morfismos de esquema que le dan su estructura de esquema de grupo también convierten este conjunto de puntos cerrados en un grupo finito.

Por lo tanto, un ejemplo de esquema de grupo no abeliano se construye fácilmente a partir de un grupo no abeliano. Incrustar S3C3×3 como matrices de permutación y que IC[xij1i,j3] sea el ideal con Z(I)=S3 . Entonces, I también define un subesquema cerrado G de A3×3 que se convierte en un esquema de grupo no abeliano al restringirle el morfismo de mulitplicación de matrices.

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