La definición de esquema de grupo finito.

Question

Estoy leyendo algunos materiales sobre esquemas de grupo.Estoy muy confundido sobre algunas definiciones.Sé lo que es un esquema de grupo y también sé lo que es un esquema de grupo afín sobre $k$ , $k$ es un anillo conmutativo con identidad, pero no encuentro la definición del esquema de grupos finitos sobre $k$ .

Supongo que un esquema de grupo finito sobre $k$ es como $Spec A$ , $A$ es $k$ -de tipo finito. ¿Es correcto? ¿Podría darme una definición estricta? ¿Y el esquema de grupo finito tiene relación con el grupo?

Answer 1

Un mapa de esquemas afines $Spec(B) \to Spec(A)$ es finito si el homomorfismo correspondiente $A \to B$ hace $B$ en un módulo generado finitamente sobre $A$ . Un esquema de grupo finito (afín) sobre $k$ es un esquema de grupo $Spec(A) \to Spec(k)$ tal que $k \to A$ hace un $A$ un edificio finitamente generado $k$ -módulo. En el caso de que $k$ es un campo, entonces $A$ es un espacio vectorial de dimensión finita, por lo que sólo tiene un número finito de puntos.

Si no quieres limitarte a los esquemas de grupos afines $G$ , se puede imaginar que el morfismo $G \to Spec(k)$ sólo tiene que parecerse localmente a la anterior, es decir $G$ tiene una cobertura por afines $Spec(A_{\alpha})$ de manera que cada $A_{\alpha}$ es un módulo generado finitamente sobre $k$ .

Answer 2

Los regímenes de grupo se consideran (¿normalmente?) sobre algún régimen fijo $S$ . Un esquema de grupo finito $G$ es un esquema de grupo que es finito en $S$ que es no es lo mismo como ser de tipo finito en $S$ . Esto significa que localmente, por ejemplo, para $G=\operatorname{Spec}(A)$ y $S=\operatorname{Spec}(k)$ el anillo $A$ se genera finitamente como un $k$ -módulo. Si $k$ es un campo, significa que $A$ es un espacio vectorial de dimensión finita. Por lo tanto, si $S$ es el espectro de un campo algebraicamente cerrado, entonces la condición implica inmediatamente que $G$ es un conjunto finito de puntos cuando se considera como una variedad.

¿tiene relación el esquema de grupo finito con el grupo?

Aplausos para la geometría algebraica. ¡Claro que sí! Un esquema de grupo es una generalización de un grupo. Tomemos mi ejemplo anterior, es decir, supongamos $S$ para ser el espectro de un campo algebraicamente cerrado y ver $G$ como $k$ -variedad. Entonces podemos identificar $G$ con sus puntos cerrados y los morfismos de esquema que le dan su estructura de esquema de grupo también convierten este conjunto de puntos cerrados en un grupo finito.

Por lo tanto, un ejemplo de esquema de grupo no abeliano se construye fácilmente a partir de un grupo no abeliano. Incrustar $\mathfrak S_3 \subseteq \Bbb C^{3\times 3}$ como matrices de permutación y que $I\subseteq\Bbb C[x_{ij}\mid1\le i,j\le3]$ sea el ideal con $Z(I)=\mathfrak S_3$ . Entonces, $I$ también define un subesquema cerrado $G$ de $\Bbb A^{3\times 3}$ que se convierte en un esquema de grupo no abeliano al restringirle el morfismo de mulitplicación de matrices.