Podemos definir la topología/conjuntos abiertos en los números reales definiendo primero una métrica. Tengo curiosidad por saber qué podemos hacer con los números naturales que sea interesante/no trivial.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Matt Dawdy
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Como dice Noah en los comentarios, si no requieres ninguna compatibilidad con las operaciones aritméticas habituales sobre los números naturales, entonces sólo estás preguntando cuáles son los espacios topológicos contables. Por supuesto, hay muchos de ellos, por ejemplo, cualquier subconjunto contable de cualquier otro espacio topológico que te interese. No me queda claro qué se puede decir útilmente a este nivel de generalidad.
Hay algunas topologías en $\mathbb{N}$ que interactúan de forma agradable con la aritmética. Uno de ellos es el Furstenburg topología, cuyos conjuntos abiertos son uniones de progresiones aritméticas. Furstenburg dio una famosa prueba utilizando esta topología de que hay infinitos primos. Como dice Henno en los comentarios, también existen los $p$ -Topologías de la adicción donde sólo consideramos las progresiones aritméticas con diferencia común una potencia de un primo particular $p$ . Estos son importantes en la teoría de los números.
