El logaritmo de 3 base 10 es irracional

Question

Demuestra que el logaritmo de 3 base 10 es irracional

El teorema fundamental de la aritmética es que todo número entero es un producto de primos.

Hasta ahora lo he hecho,

Supongamos que $\log_{10}(5)$ es racional. Entonces supongamos $\log_{10}(5) = \frac {p}{q}$ para algunos enteros positivos $p$ y $q$ con $\frac {p}{q}$ en términos mínimos y $p< q$ . Exponiendo ambos lados usando 10 como base obtenemos, $5=10^{p/q}$ . Lleva ambos lados a la qª potencia. Obtenemos $5^q=10^p=2^p*5^p$ . Entonces obtenemos $5^{q-p}=2^p$ .

Pero no estoy seguro de que esto tenga algo que ver con el Teorema Fundamental de la Aritmética.

Si tienes otra forma de hacerlo también sería genial.

Answer 1

$5^{q-p}$ es impar y por lo tanto $p=0$ . Por lo tanto, $5^{q-p}=1$ Por lo tanto $q-p=0$ por lo tanto $q=0$ contradiciendo el hecho $q$ es distinto de cero

Answer 2

Pista: Lo que el TLC dice en realidad es que todo número entero puede escribirse únicamente como producto de primos. Teniendo en cuenta esto, piense en lo que el enunciado $5^q = 2^p\times5^p$ nos dice.