Considera la función:
$$f:\mathbb{R^2}\rightarrow\mathbb{R}$$ $$f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^4+y^2}\forall (x,y)\neq(0,0)$$ $$f(0,0)=0$$
Es claramente diferenciable para todos $(x,y)\neq(0,0)$ . He demostrado que ambas derivadas parciales en el origen son $0$ Sin embargo, tengo problemas para demostrar si es diferenciable o no. Ni siquiera he podido demostrar si es continua en el origen o no.
La conjetura sobre la continuidad es que efectivamente es continua, basándonos en la propia gráfica y en el hecho de que ambos límites iterados son $0$ y también los límites a la hora de elegir $y=\pm x$ y $y=\pm x^2$ . Sin embargo, no puedo ligar la expresión por cualquier $\epsilon>0$ :
$$|\frac{x^2y^2}{x^4+y^2}|<\epsilon$$
que sería una condición suficiente para la continuidad de $f$ en $(0,0)$
Por otro lado, como todas las derivadas parciales son $0$ si la función fuera diferenciable, la diferencial $L$ tendría que ser $0$ Y así, tendríamos eso:
$$f((0,0)+(h,k))-f((0,0))=L(h,k) + ||(h,k)||\cdot\rho(h,k)$$
Donde $L(h)$ es el diferencial lineal $0$ y $\lim_{(h,k)\to(0,0)}\rho(h,k)=0$ Eso es:
$$\frac{h^2k^2}{h^4+k^2}=||(h,k)||\cdot\rho(h,k)$$
Así que tenemos que demostrar que la función $\rho(h,k)$ definido por:
$$\rho(h,k)=\frac{h^2k^2}{||(h,k)||\cdot h^4+k^2}=\frac{h^2k^2}{\sqrt{h^2+k^2}\cdot (h^4+k^2)}$$
Converge o no converge a $(0,0)$ cuando $(h,k)$ tiende a $(0,0)$ . ¿Cómo mostrar estas dos preocupaciones? (Continuidad y diferenciabilidad).
