Convergencia de secuencias en el espacio topológico del conjunto de potencias de los racionales

Question

Dejemos que $\tau = P(\mathbb{Q}) \cup \{ \mathbb{R} \}$ . Demostrar que $X = (\mathbb{R}, \tau)$ es un espacio topológico. ¿Qué hace la secuencia $\frac{1}{n}$ ¿convertirse en? ¿Qué secuencias convergen a $0$ ? ¿Qué pasa con $\sqrt{2}$ ?

He demostrado con éxito que $X$ es un espacio topológico pero estoy confundido sobre las convergencias. Hemos definido que $x_n \to x$ significa $\forall_{U \ni x} U \text{ open } \exists_{N}\forall_{n\geq N} x_n \in U$ . ¿Podría alguien indicarme la dirección correcta?

Answer 1

Es claramente un espacio topológico ya que el conjunto de potencias de los racionales es cerrado bajo intersecciones y uniones y sumando $\mathbb{R}$ a un sindicato hace que el sindicato $\mathbb{R}$ y añadirlo a alguna intersección finita no tiene ningún efecto; así que todos los axiomas de la topología son fáciles de comprobar.

Si $x$ es irracional (por lo que casi todos los puntos de $\mathbb{R}$ ) sólo tiene un barrio (abierto), a saber $\Bbb R$ Así que cualquier secuencia en $\mathbb{R}$ converge a $x$ .

Si $x$ es racional, $\{x\}$ es una vecindad abierta de $x$ por lo que una secuencia $(x_n)$ converge a $x$ si existe algún índice $N$ tal que $x_n = x$ para $n \ge N$ .

Así que su secuencia $(\frac{1}{n})$ que es no eventualmente constante converge a cada irracional $x$ (por lo que a $\pi, \sqrt{2}, e^4$ etc...) y a ningún racional.